В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка P — середина ребра SA, точка Q — середина ребра SC.
а) Докажите, что расстояние между прямыми BP и DQ не зависит от высоты пирамиды.
б) Найдите это расстояние, если площадь основания пирамиды равна 5.
Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными по ребрам AD, AB и перпендикуляру к плоскости основания. Обозначим высоту пирамиды за 
а ребро основания за 
Тогда точки будут иметь такие координаты:
Вектор DQ имеет координаты 
Откладывая его от точки B, получим точку 
Проведем теперь плоскость 
через эту точку, а также точки B и P. Она будет параллельна прямой DQ и
Пусть уравнение этой плоскости имеет вид 
Подставляя туда координаты точек, получим:
Складывая последние два уравнения, получим 
при этом из первого уравнения поэтому 
и 
Возьмем 
и 
поэтому из второго уравнения 
Итак, уравнение плоскости имеет вид 
а) Имеем:
это выражение не зависит от h.
б) Если 
то 
Ответ: б) 