СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 515649

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен

а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Ре­ше­ние.

а) Оче­вид­но, про­ек­ция L на плос­кость ABCD лежит на AC, по­это­му про­ек­ция OL на плос­кость ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды сов­па­да­ет со вто­рой диа­го­на­лью (AC) и пер­пен­ди­ку­ляр­на OB, тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах и

б) Вве­дем ко­ор­ди­на­ты с на­ча­лом в точке A и осями, на­прав­лен­ны­ми по реб­рам AD, AB и па­рал­лель­но вы­со­те SO (обо­зна­чим ее длину за ). Тогда ко­ор­ди­на­ты точек будут и Най­дем угол между ними по фор­му­ле

 

По усло­вию, этот же ко­си­нус равен с точ­но­стью до знака.

Ре­ша­ем урав­не­ние

 

Итак, вы­со­та пи­ра­ми­ды равна по­это­му апо­фе­ма равна и пло­щадь по­верх­но­сти равна

 

Ответ: 80.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 1. (Часть C).
Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат, Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямых, Правильная четырёхугольная пирамида