а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, со­дер­жа­щая диа­го­наль AC₁, так, что се­че­ние  — ромб. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если AB = 3, BC = 2 и AA₁ = 5.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств:

В тре­уголь­ни­ке KLM угол L тупой, а сто­ро­на KM равна 6. Центр O окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через вер­ши­ны K, M и точку пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка KLM лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLM.

а)  До­ка­жи­те, что угол KOM равен 120°.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLM.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a такие, что каж­дый ко­рень урав­не­ния

яв­ля­ет­ся кор­нем дан­но­го урав­не­ния толь­ко при одном зна­че­нии па­ра­мет­ра.

В стро­ку под­ряд на­пи­са­но 1000 чисел. Под каж­дым чис­лом a пер­вой стро­ки на­пи­шем число, ука­зы­ва­ю­щее, сколь­ко раз число a встре­ча­ет­ся в пер­вой стро­ке. Из по­лу­чен­ной таким об­ра­зом вто­рой стро­ки ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем тре­тью: под каж­дым чис­лом вто­рой стро­ки пишем, сколь­ко раз оно встре­ча­ет­ся во вто­рой стро­ке. Затем из тре­тьей стро­ки так же по­лу­ча­ем четвёртую, из четвёртой  — пятую и так далее.

а)  До­ка­жи­те, что не­ко­то­рая строч­ка сов­па­да­ет со сле­ду­ю­щей.

б)  До­ка­жи­те, что 11‐⁠я стро­ка сов­па­да­ет с 12‐⁠й.

в)  При­ве­ди­те при­мер такой пер­во­на­чаль­ной строч­ки, для ко­то­рой 10‐⁠я стро­ка не сов­па­да­ет с 11‐⁠й.