Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCDEF бо­ко­вое ребро на­кло­не­но к ос­но­ва­нию под углом

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти АРВ и DPE пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­са сферы, ка­са­ю­щей­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды, к ра­ди­у­су сферы, про­хо­дя­щей через все вер­ши­ны пи­ра­ми­ды.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Тре­уголь­ник АВС (АВ < АC) впи­сан в окруж­ность. На сто­ро­не АС от­ме­че­на точка Е так, что АЕ  =  АВ. Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку СЕ пе­ре­се­ка­ет дугу ВС, не со­дер­жа­щую точки А, в точке К.

а)  До­ка­жи­те, что АК яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла ВАС.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка АВКЕ, если из­вест­но, что АВ  =  5, АС  =  11, ВС  =  10.

1 июля граж­дан­ка взяла в кре­дит S млн. руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 15 числа каж­до­го ме­ся­ца сумма долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10% по срав­не­нию с на­ча­лом те­ку­ще­го ме­ся­ца;

  — с 16 по 28 число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 1 числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей:

Опре­де­ли­те: а) раз­мер кре­ди­та; б) через сколь­ко ме­ся­цев он был пол­но­стью по­га­шен, если из­вест­но, что за все время кре­ди­то­ва­ния было вы­пла­че­но 4,16 млн. руб­лей.

Най­ди­те все а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно три ре­ше­ния.

а)  Может ли про­из­ве­де­ние двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел ока­зать­ся в 5 раз боль­ше, чем раз­ность этих чисел?

б)  Может ли про­из­ве­де­ние двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел ока­зать­ся в 5 раз боль­ше, чем раз­ность квад­ра­тов этих чисел?

в)  Най­ди­те все трех­знач­ные на­ту­раль­ные числа, каж­дое из ко­то­рых в 5 раз боль­ше, чем сумма по­пар­ных про­из­ве­де­ний его цифр.