а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка P — середина ребра SA, точка Q — середина ребра SC.

а) Докажите, что расстояние между прямыми BP и DQ не зависит от высоты пирамиды.

б) Найдите это расстояние, если площадь основания пирамиды равна 5.

Решите неравенство:

В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и AC равны соответственно 10, 8 и 6.

а) Докажите, что ABCD — прямоугольник.

б) Найдите площадь параллелограмма ABCD.

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 600 тыс. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15‐го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца.

На сколько рублей увеличится сумма выплат, если взять кредит с такими же условиями на 30 месяцев?

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет не более двух решений.

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо нескольких (возможно, одного) из чисел на доске написали числа, меньшие первоначальных на 1. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли среднее арифметическое чисел на доске увеличиться после произведённой операции?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел было равно 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел получиться равным 34?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел было равно 27. Найдите максимальное возможное значение среднего арифметического оставшихся на доске чисел.