а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка P  — се­ре­ди­на ребра SA, точка Q  — се­ре­ди­на ребра SC.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между пря­мы­ми BP и DQ не за­ви­сит от вы­со­ты пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те это рас­сто­я­ние, если пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 5.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­на диа­го­наль АС. Точка О яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Рас­сто­я­ния от точки О до точки А и пря­мых AD и AC равны со­от­вет­ствен­но 10, 8 и 6.

а)  До­ка­жи­те, что ABCD  — пря­мо­уголь­ник.

б)  Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

15 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 600 тыс. руб­лей на 24 ме­ся­ца. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2‐го по 14‐е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

На сколь­ко руб­лей уве­ли­чит­ся сумма вы­плат, если взять кре­дит с та­ки­ми же усло­ви­я­ми на 30 ме­ся­цев?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет не более двух ре­ше­ний.

На доске было на­пи­са­но 20 на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 40. Вме­сто не­сколь­ких (воз­мож­но, од­но­го) из чисел на доске на­пи­са­ли числа, мень­шие пер­во­на­чаль­ных на 1. Числа, ко­то­рые после этого ока­за­лись рав­ны­ми 0, с доски стёрли.

а)  Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел на доске уве­ли­чить­ся после про­из­ведённой опе­ра­ции?

б)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел было равно 27. Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел по­лу­чить­ся рав­ным 34?

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел было равно 27. Най­ди­те мак­си­маль­ное воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го остав­ших­ся на доске чисел.