В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка M — середина стороны BC.
а) Докажите, что прямая A1C параллельна плоскости, проходящей через точки A, M и B1.
б) Найдите расстояние от прямой A1C до плоскости AMB1, если параллелепипед прямоугольный и AB = 5, AD = 4, AA1 = 2.
а) Проведём отрезок A1B — диагональ грани AA1B1B. Пусть N — точка пересечения диагоналей, тогда N — середина A1B. В треугольнике A1BC отрезок MN — средняя линия (лежит в плоскости AB1M), следовательно, прямые MN и A1C параллельны. Тогда прямая A1C параллельна плоскости AMB1.
б) Проведём через точку C прямую, параллельную B1M, а через точку A1 прямую, параллельную AB1. Так как 
а 
они пересекутся в одной точке на прямой BB1. Назовём эту точку B2 и заметим, что 
Точку пересечения прямой 
с ребром AB назовём A2. Заметим, что плоскость A2B2C параллельна плоскости AB1M, и при этом плоскость A2B2C содержит прямую A1C. Расстояние от прямой A1C до плоскости AB1M равно расстоянию между плоскостями A2B2C и AB1M и равно разности между длинами высот подобных пирамид BA2B2C и BAB1M. Коэффициент подобия этих пирамид 
Значит, искомое расстояние равно высоте пирамиды BAB1M. Вычислим объем пирамиды BAB1M:
Посчитаем объём другим способом. В треугольнике AB1M: 
откуда
Тогда
Ответ: 