В кубе АВСDA1B1C1D1 точка N — середина ребра BC, точка M лежит на ребре AB так, что MB = 2MA. Плоскость, проходящая через точки M и N параллельно прямой ВD1, пересекает ребро DD1 в точке K.
а) Докажите, что DK : D1K = 5 : 2.
б) Найдите расстояние от точки D1 до прямой MN, если известно, что ребро куба равно 12.
а) Обозначим за F точку пересечения MN и BD. Очевидно, BF — биссектриса угла MBN. Пусть ребро куба равно 6x, тогда 
тогда 
Тогда 
откуда 
Кроме того, 
По теореме косинусов в треугольнике BNF получаем
откуда 
Рассмотрим теперь треугольник 
Проведем в нем через точку F прямую, параллельную 
(очевидно, она лежит в данной плоскости). Пусть она пересечет сторону 
в точке K. Тогда 
б) Вычисления пункта а) остаются в силе, Опустим перпендикуляры на MN из точек D и 
Очевидно, они упадут в одну точку, по теореме о трех перпендикулярах. Обозначим эту точку за T. Тогда 
Найдем DT. Очевидно,
Значит, 
Ответ: 
При поиске BF можно было воспользоваться формулой нахождения биссектрисы треугольника.