а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD все ребра равны между собой. На ребре PC от­ме­че­на точка K.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью ABK яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те угол, ко­то­рый об­ра­зу­ет плос­кость ABK с плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, если из­вест­но, что PK : KC  =  3 : 1.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Че­ты­рех­уголь­ник ABDC впи­сан в окруж­ность. Пря­мые AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что AD · BP = BC · DP.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка APC, если из­вест­но, что BD = 2 · AC, а пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABDC равна 36.

В одном со­су­де на­хо­дит­ся 21 л 75%-ного (по объ­е­му) рас­тво­ра кис­ло­ты, а в дру­гом 9 л 30%-ного рас­тво­ра той же кис­ло­ты. Из каж­до­го со­су­да от­ли­ли рав­ное ко­ли­че­ство жид­ко­сти, и взя­тое из пер­во­го со­су­да вы­ли­ли во вто­рой, а взя­тое из вто­ро­го вы­ли­ли в пер­вый. Сколь­ко лит­ров было взято из каж­до­го со­су­да, если в ре­зуль­та­те в них ока­зал­ся рас­твор одной и той же кон­цен­тра­ции.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно одно ре­ше­ние.

В тра­пе­ции па­рал­лель­но ос­но­ва­ни­ям про­ве­де­ны че­ты­ре от­рез­ка с кон­ца­ми на бо­ко­вых сто­ро­нах: KL, MN, RS и TQ. Из­вест­но, что пер­вый от­ре­зок про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции, вто­рой  — делит ее на два по­доб­ных че­ты­рех­уголь­ни­ка, тре­тий  — со­еди­ня­ет се­ре­ди­ны бо­ко­вых сто­рон, чет­вер­тый раз­би­ва­ет тра­пе­цию на две рав­но­ве­ли­кие части.

а)  Най­ди­те длины этих от­рез­ков.

б)  До­ка­жи­те, что KL < MN < RS < TQ.