Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка М  — се­ре­ди­на ребра SC, точка K  — се­ре­ди­на ребра AB.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MK делит вы­со­ту SH пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 1 : 3.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой MK и плос­ко­стью ABC, если из­вест­но, что AB = 6, SA = 5.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы AB в точке K, а ка­те­тов  — в точ­ках P и M.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна AK · BK.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка PKM, если из­вест­но, что AK = 12, BK = 5.

В не­ко­то­рой стра­не ре­ши­ли про­ве­сти все­на­род­ные вы­бо­ры пра­ви­тель­ства. Две трети в этой стра­не  — го­род­ские жи­те­ли, а одна треть  — сель­ские. Пре­зи­дент дол­жен пред­ло­жить на утвер­жде­ние про­ект со­ста­ва пра­ви­тель­ства из 100 че­ло­век. Из­вест­но, что за про­ект про­го­ло­су­ет столь­ко про­цен­тов го­род­ских (сель­ских) жи­те­лей, сколь­ко че­ло­век из го­ро­да (села) в пред­ло­жен­ном про­ек­те. Какое наи­мень­шее число го­род­ских жи­те­лей надо вклю­чить в про­ект со­ста­ва пра­ви­тель­ства, чтобы за него про­го­ло­со­ва­ло более по­ло­ви­ны из­би­ра­те­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень.

Может ли общая часть тре­уголь­ни­ка и че­ты­рех­уголь­ни­ка (об­ра­зо­ван­ная при на­ло­же­нии одной фи­гу­ры на дру­гую) пред­став­лять собой

а)  се­ми­уголь­ник;

б)  вось­ми­уголь­ник;

в)  де­вя­ти­уголь­ник?