а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На ребре SD пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD от­ме­че­на точка M, при­чем Точки P и Q  — се­ре­ди­ны рёбер BC и AD со­от­вет­ствен­но

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью MPQ яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость MPQ раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Окруж­ность с цен­тром О, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся его сто­рон AB, AC и BC в точ­ках и со­от­вет­ствен­но. Бис­сек­три­са угла A пе­ре­се­ка­ет эту окруж­ность в точке Q, ле­жа­щей внут­ри тре­уголь­ни­ка

А)  До­ка­жи­те, что   — бис­сек­три­са угла

Б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки О до цен­тра окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник если из­вест­но, что

15‐го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 24 ме­ся­ца. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца

  — со 2‐го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга

  — 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

Какую сумму сле­ду­ет взять в кре­дит, чтобы общая сумма вы­плат после пол­но­го его по­га­ше­ния рав­ня­лась 1 млн руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два ре­ше­ния.

а)  Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число n, де­ля­ще­е­ся на­це­ло на 12 и при этом име­ю­щее ровно 12 раз­лич­ных де­ли­те­лей (вклю­чая еди­ни­цу и само число n)?

б)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные числа, де­ля­щи­е­ся на­це­ло на 14 и име­ю­щие ровно 14 раз­лич­ных на­ту­раль­ных де­ли­те­лей.

в)  Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, де­ля­ще­е­ся на­це­ло на 2014 и име­ю­щее ровно 2014 раз­лич­ных на­ту­раль­ных де­ли­те­лей?