Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ точка P  — се­ре­ди­на ребра A₁B₁, точка M  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью BPM про­хо­дит через точку C.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость BPM раз­би­ва­ет дан­ную приз­му, если из­вест­но, что AB  =  6, AA₁  =  4.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке ABCD точки K, M, P, E  — се­ре­ди­ны сто­рон AB, BC, CD, и DA со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь четырёхуголь­ни­ка KMPE равна по­ло­ви­не пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка ABCD.

б)  Най­ди­те боль­шую диа­го­наль четырёхуголь­ни­ка KMPE, если из­вест­но, что AC  =  6, BD  =  8, а сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AKE и CMP равна

В на­ча­ле года фирма «Жил­строй­сер­вис» вы­би­ра­ет банк для по­лу­че­ния кре­ди­та среди не­сколь­ких бан­ков, кре­ди­ту­ю­щих под раз­ные про­цен­ты. По­лу­чен­ным кре­ди­том фирма фирма пла­ни­ру­ет рас­по­ря­дит­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: 75% кре­ди­та на­пра­вить на стро­и­тель­ство кот­те­джей, а осталь­ные 25% на ока­за­ние ри­эл­тер­ских услуг на­се­ле­нию. Пер­вый про­ект может при­не­сти при­быль в раз­ме­ре от 36% до 44% го­до­вых, а вто­рой  — от 20% до 24% го­до­вых. В конце года фирма долж­на вер­нуть кре­дит банку с про­цен­та­ми и при этом рас­счи­ты­ва­ет на чи­стую при­быль от ука­зан­ных видов де­я­тель­но­сти от не менее 13%, но и не более 21% го­до­вых от всего по­лу­чен­но­го кре­ди­та. Ка­ки­ми долж­ны быть наи­мень­шая и наи­боль­шая про­цент­ные став­ки кре­ди­то­ва­ния вы­би­ра­е­мых бан­ков, чтобы фирма га­ран­ти­ро­ван­но обес­пе­чи­ла себе ука­зан­ный выше уро­вень при­бы­ли.

Для каж­до­го до­пу­сти­мо­го зна­че­ния a ре­ши­те не­ра­вен­ство

а)  Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 2015 даёт в остат­ке 2014, а при де­ле­нии на 2016 даёт в остат­ке 2015?

б)  Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 3 даёт в остат­ке 2, при де­ле­нии на 5 даёт в остат­ке 4, а при де­ле­нии на 10 даёт в остат­ке 6?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 2 даёт в остат­ке 1, при де­ле­нии на 3 даёт в остат­ке 2, ..., при де­ле­нии на 9 даёт в остат­ке 8, при де­ле­нии на 10 даёт в остат­ке 9.