В правильной четырехугольной пирамиде плоскость α, проведенная через сторону основания, делит двухгранный угол при основании пирамиды и боковую поверхность пирамиды пополам.
а) Докажите, что двухгранный угол при основании пирамиды равен 45°.
б) Найдите расстояние от плоскости α до вершины пирамиды, если сторона основания пирамиды равна 1.
а) Пусть плоскость α проходит через ребро AB и пересекает ребра SC и SD в точках M и N соответственно. Очевидно, что прямая MN параллельна прямым AB и CD, поэтому треугольник SMN подобен треугольнику SCD. Пусть k — коэффициент подобия, и пусть S — площадь боковой грани, тогда 
и 
Имеем:
Рассмотрим сечение, проходящее через середины T и P ребер AB и CD соответственно и содержащее высоту пирамиды. Очевидно, что STP — линейный угол двугранного угла при основании пирамиды, а TR — его биссектриса, где R — точка пресечения прямых MN и SP. Тогда
Следовательно, 
откуда 
По теореме о биссектрисе треугольника 
Тогда если сторона основания 2а, то TP = 2a, TO = a, 
и, следовательно, SO = a. Треугольник SOT прямоугольный и равнобедренный, а угол STO = 45°.
б) Опустим из вершины S перпендикуляр SH на прямую TR. Рассмотрим плоскость STP. Заметим, что 
прямая SO перпендикулярна прямой CD, прямая TP перпендикулярна прямой CD. Поэтому плоскость STP перпендикулярна прямой CD, а значит, прямая SH перпендикулярна прямой CD. Кроме того SH перпендикулярна MN, и SH перпендикулярна TR по построению. Таким образом, прямая SH перпендикулярна плоскости α а длина отрезка SH является искомым расстоянием.
Очевидно, что 
Из пункта а) известно, что 
Воспользуемся формулой половинного угла:
Тогда
Ответ: б) 