Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 
а высота СС1 равна 7,5. На ребре B1C1 отмечена точка Р так, что B1P:PC1 = 1 : 3. Точки Q и М являются серединами сторон АВ и A1C1 соответственно. Плоскость α параллельна прямой АС и проходит через точки Р и Q.
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки М до плоскости α.
а) Проведем через P и Q прямые SP и QT, параллельные
Пусть 
— середина ребра 
Тогда 
— проекция BM на плоскость основани. Она перпендикулярна средней линии QT основания, поэтому и 
Пусть далее N — точка на ребре 
такая, что 
Тогда 
и Значит, BN — проекция BM на плоскость 
Если мы докажем, что 
то и 
и тогда 
Очевидно 
поэтому AQSN — параллелограмм и 
Осталось проверить, что треугольник BNA — прямоугольный.
Проверим теорему Пифагора.
Доказано.
б) Пусть X — середина PS, Y — середина 
Опустим перпендикуляр из M на прямую 
Поскольку он лежит в плоскости 
он будет заодно перпендикулрен и прямой QT, Значит, он-то и есть искомое расстояние. Вычислим теперь его длину через площадь треугольника 
Ответ: 