ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д10 C2 № 508096 Добавить в вариант

Площадь треугольника, образованного диагональным сечением правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S, вдвое больше площади её основания.

а)  Постройте это сечение;

б)  Найдите косинус плоского угла при вершине пирамиды.

Спрятать решение

Решение.

а)  Соединим точки B и D отрезком. Проведем плоскость через точки S, B и D, не лежащие на одной прямой. Сечение построено. Это  — треугольник BSD. Но таких сечений будет два: можно было бы построить также сечение, проходящие через АС  — диагональ основания. Поскольку диагонали квадрата (основания) равны, боковые ребра правильной пирамиды также равны, то получим два равных решения. Для нашего случая достаточно взять одно решение: треугольник BSD

б)  Проведем высоту пирамидыSO, O  — точка пересечения АС и BD.

Для удобства дальнейших вычислений пусть сторона квадрата ABCD будет равна $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Тогда

$BD=2;DO=1;S левая круглая скобка ABCD правая круглая скобка =2;S левая круглая скобка BSD правая круглая скобка =$
$=DO умножить на SO=SO;S левая круглая скобка BSD правая круглая скобка =2S левая круглая скобка ABCD правая круглая скобка =4;SO=4.$ $BD=2;DO=1;S левая круглая скобка ABCD правая круглая скобка =$
$=2;S левая круглая скобка BSD правая круглая скобка =DO умножить на SO=SO;S левая круглая скобка BSD правая круглая скобка =$
$=2S левая круглая скобка ABCD правая круглая скобка =4;SO=4.$

$SC в квадрате =SD в квадрате =DO в квадрате плюс SO в квадрате =17.$

В $\Delta DSC$ по теореме косинусов будем иметь:

$CD в квадрате =2SD в квадрате минус 2SD в квадрате умножить на косинус \angle CSD=2SD в квадрате левая круглая скобка 1 минус косинус \angle CSD правая круглая скобка ;$ $1 минус косинус \angle CSD= дробь: числитель: CD в квадрате , знаменатель: 2SD в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 2 умножить на 17 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 17 конец дроби ,$

$косинус \angle CSD=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 17 конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 17 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 16, знаменатель: 17 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 83

Классификатор стереометрии: Построения в пространстве, Правильная четырёхугольная пирамида, Угол между прямыми

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь