Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 514059

В правильной треугольной пирамиде SABC точка P  — середина AB, точка K  — середина BC. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость Ω.

а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью Ω является прямоугольником. 

б)  Найдите расстояние от точки S до плоскости Ω, если известно, что SC = 5, AC = 6.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть L  — середина SC, M  — середина SA. Тогда ML\parallel AC\parallel PK (средняя линия треугольника параллельна его стороне) и, значит, точки P, K, L, M лежат в одной плоскости. Поскольку также KL\parallel SB, это и есть описанная в условии плоскость \Omega. А сечение пирамиды  — четырехугольник PKLM. Он параллелограмм, поскольку ML\parallel PK, ML=PK= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC. Вычислим его угол.

\angle LMP=\angle левая круглая скобка LM,MP правая круглая скобка =\angle левая круглая скобка AC,SB правая круглая скобка =90 градусов,

поскольку проекция прямой SB на плоскость ABC  — прямая BH, перпендикулярная стороне AC.

б)  Проведем плоскость SBH, где H  — середина AC. Пусть она пересекает ML и PK в точках T и Q соответственно. Эта плоскость перпендикулярна ML, поскольку ML\parallel AC, SB\perp AC, BH\perp AC. Поэтому любая прямая в этой плоскости перпендикулярна ML. Значит, если опустить перпендикуляр из B на TQ  — это и будет искомое расстояние. Очевидно также, что T и Q  — середины SH и BH соответственна, поэтому TQ  — средняя линия треугольника SHB и d левая круглая скобка B,TQ правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d левая круглая скобка H,SB правая круглая скобка .

Рассмотрим треугольник SHB. В нем SB=5, BH= дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби AC=3 корень из 3, SH= корень из 5 в квадрате минус 3 в квадрате =4. Если провести в нем высоту из вершины S, она упадет в ценр треугольника ABC, то есть в точку, делящую BH в отношении 2:1, откуда длина этой высоты равна  корень из 4 в квадрате минус корень из 3 в квадрате = корень из 13. Теперь можно найти нужное расстояние.

 d левая круглая скобка B,TQ правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d левая круглая скобка H,SB правая круглая скобка = дробь: числитель: S_SBH, знаменатель: SB конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из 3 умножить на корень из 13, знаменатель: 2 умножить на 5 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из 39, знаменатель: 10 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 3 корень из 39, знаменатель: 10 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 153.