Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.  

а)  До­ка­жи­те, что каж­дая из плос­ко­стей BDA₁ и B₁D₁С пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC₁. 

б)  Най­ди­те объем части куба, за­клю­чен­ной между плос­ко­стя­ми BDA₁ и B₁D₁C, если из­вест­но, что от­ре­зок диа­го­на­ли AC₁, за­клю­чен­ный между этими плос­ко­стя­ми, имеет длину

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

а)  До­ка­жи­те, что ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, равен по­ло­ви­не раз­но­сти суммы ка­те­тов и ги­по­те­ну­зы.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей, впи­сан­ных в  тре­уголь­ни­ки, на ко­то­рые он де­лит­ся вы­со­той, про­ведённой к ги­по­те­ну­зе, равны 4 и 5. 

1 марта 2016 г. Иван Льво­вич по­ло­жил 20 000 руб­лей на бан­ков­ский вклад сро­ком на 1 год с еже­ме­сяч­ным на­чис­ле­ни­ем про­цен­тов и ка­пи­та­ли­за­ци­ей под 21% го­до­вых. Это озна­ча­ет, что пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца сумма вкла­да уве­ли­чи­ва­ет­ся на одно и то же ко­ли­че­ство про­цен­тов, рас­счи­тан­ное таким об­ра­зом, что за 12 ме­ся­цев она уве­ли­чит­ся ровно на 21%. Через сколь­ко ме­ся­цев сумма вкла­да впер­вые пре­вы­сит 22 000 руб­лей? 

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно три ре­ше­ния.

На каж­дой из 28 ко­стей до­ми­но на­пи­са­ны два целых числа, не мень­ших 0 и не боль­ших 6 так, что они об­ра­зу­ют все воз­мож­ные пары по од­но­му разу (0−0, 0−1, 0−2 и так далее до 6−6). 

Все кости до­ми­но раз­ло­жи­ли на не­сколь­ко кучек и для каж­дой кучки под­счи­та­ли сумму всех чисел на ко­стях, на­хо­дя­щих­ся в этой кучке. Ока­за­лось, что все по­лу­чен­ные суммы равны. 

а)  Могло ли быть 2 кучки? 

б)  Могло ли быть 5 кучек? 

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство кучек могло быть?