Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 521332

В кубе ABCDA1B1C1D1точка М лежит на ребре ВВ1 так, что ВМ : В1М = 1 : 3. Через точки М и С1 параллельно BD1 проведена плоскость β.

а) Докажите, что плоскость β проходит через середину ребра АА1.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью β, если известно, что АВ = 12.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть точка T на отрезке B1D1 такова, что B1T : TD1 = 3 : 1, тогда MT || BD1 и точка T лежит в плоскости β. Обозначим за K точку пересечения C1T и A1B1. Опустим из точки T перпендикуляр TQ на A1B1. Тогда треугольники KTQ и KC1B1 будут подобны с коэффициентом TQ:C_1B_1= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , откуда

KB_1=4QB_1=4 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби A_1B_1=3A_1B_1 и KA1 = 2A1B1.

Обозначим за K1 точку пересечения KM и AA_1. Опустим из точки M перпендикуляр MM1 на AA1. Тогда треугольники KK1A1 и MM1K1 будут подобны с коэффициентом KA1 : MM1 = 2, откуда

A_1K_1= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби A_1M_1= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби AA_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AA_1.

б) Обозначим за T_1 точку пересечения C_1T и A_1D_1. Тогда C1T1K1M — искомое сечение являющееся трапецией. Найдем ее стороны.

C_1T_1= корень из C в степени левая круглая скобка \phantom2 правая круглая скобка _1D_1 в квадрате плюс D в степени левая круглая скобка \phantom2 правая круглая скобка _1T_1 в квадрате =4 корень из 10, K_1T_1= корень из K в степени левая круглая скобка \phantom2 правая круглая скобка _1A_1 в квадрате плюс A в степени левая круглая скобка \phantom2 правая круглая скобка _1T_1 в квадрате =10,

K_1M= корень из K в степени левая круглая скобка \phantom2 правая круглая скобка _1M_1 в квадрате плюс M в степени левая круглая скобка \phantom2 правая круглая скобка _1M в квадрате =3 корень из 17, C_1M= корень из C в степени левая круглая скобка \phantom2 правая круглая скобка _1B в степени левая круглая скобка \phantom2 правая круглая скобка _1 в квадрате плюс B в степени левая круглая скобка \phantom2 правая круглая скобка _1M в квадрате =15.

Проведем в этой трапеции отрезок, параллельный боковой стороне. Она разобьется на параллелограмм и треугольник. Очевидно, площадь отсечённого треугольника составит  дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби площади трапеции (основание треугольника 15 − 10 = 5 против суммы оснований 25 при одинаковой высоте). Найдем теперь S — площадь отсеченного треугольника со сторонами 4 корень из 10,3 корень из 17,5 по формуле Герона

16S в квадрате = левая круглая скобка 4 корень из 10 плюс 3 корень из 17 плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 корень из 10 плюс 3 корень из 17 минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 корень из 10 минус 3 корень из 17 плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 корень из 17 минус 4 корень из 10 плюс 5 правая круглая скобка =

= левая круглая скобка левая круглая скобка 4 корень из 10 плюс 3 корень из 17 правая круглая скобка в квадрате минус 5 в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в квадрате минус левая круглая скобка 4 корень из 10 минус 3 корень из 17 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка = левая круглая скобка 24 корень из 170 плюс 288 правая круглая скобка левая круглая скобка 24 корень из 170 минус 288 правая круглая скобка =

=24 в квадрате умножить на 170 минус 288 в квадрате =4 в квадрате умножить на 3 в квадрате умножить на 2 в квадрате левая круглая скобка 170 минус 12 в квадрате правая круглая скобка =16 умножить на 3 в квадрате умножить на 2 в квадрате умножить на 26.

Тогда S=6 корень из 26, откуда площадь сечения S_C_1T_1K_1M=5S=30 корень из 26.

 

Ответ:б) 30 корень из 26.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 201.