ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д10 C2 № 527541 Добавить в вариант

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB=4,$ $AD=6,$ $AA_1=8.$ Точка K, лежащая на ребре $AA_1,$ удалена от вершины A на 4, расстояние от точки L, лежащей на ребре $DD_1$ до вершины D равно 2. Точка M лежит на отрезке $B_1C,$ длина MC вдвое больше длины $B_1M.$

а)  Найдите угол между плоскостью KLM и плоскостью $DCC_1.$

б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью KLM.

Спрятать решение

Решение.

Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными по AB, AD и $AA_1.$ Тогда координаты точек будут такими  — $K левая круглая скобка 0;0;4 правая круглая скобка ,$ $L левая круглая скобка 0;6;2 правая круглая скобка ,$ $C левая круглая скобка 4;6;0 правая круглая скобка ,$ $B_1 левая круглая скобка 4;0;8 правая круглая скобка .$ Точка M делит отрезок $B_1C$ в отношении $1:2,$ поэтому $M левая круглая скобка 4;2; дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

а)  Найдем уравнение плоскости KLM. Допустим, оно имеет вид $Ax плюс By плюс Cz плюс D=0.$ Подставляя координаты точек, получим уравнения

$4C плюс D=0,$      $6B плюс 2C плюс D=0,$      $4A плюс 2B плюс дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби C плюс D=0.$

Пусть, например, $D= минус 12,$ тогда $C=3,$ из второго уравнения $B=1$ и из третьего $4A плюс 2 плюс 16 минус 12=0,$ $A= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$ Домножая уравнение на 2 получим $минус 3x плюс 2y плюс 6z минус 24=0.$ Плоскость $DCC_1$ имеет уравнение $y минус 6=0,$ поэтому угол между плоскостями можно найти по формуле

$косинус альфа = дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 0 плюс 1 плюс 0 конец аргумента корень из: начало аргумента: 9 плюс 4 плюс 36 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби .$

б)  Найдем точки пересечения плоскости с ребрами $BB_1$ и $CC_1.$

Если точка лежит на $BB_1,$ то $x=4,$ $y=0$ и получим $минус 12 плюс 6z минус 24=0,$ $z=6.$

Если точка лежит на $CC_1,$ то $x=4,$ $y=6$ и получим $минус 12 плюс 12 плюс 6z минус 24=0,$ $z=4.$

Поэтому сечение имеет вид четырехугольника с вершинами на всех вертикальных ребрах. Значит, его проекция на плоскость ABCD  — прямоугольник ABCD площади 24. Вычисляя угол этой плоскости с плоскостью основания $z=0$ получим

$косинус бета = дробь: числитель: 6, знаменатель: корень из: начало аргумента: 0 плюс 1 плюс 0 конец аргумента корень из: начало аргумента: 9 плюс 4 плюс 36 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби .$

По теореме о площади фигуры и площади проекции получим: $S= дробь: числитель: 24, знаменатель: дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби конец дроби =28.$

Ответ: а) $арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби ;$ б) 28.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)	2
Выполнен только один из пунктов   — а) или б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 267

Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат

Классификатор стереометрии: Площадь сечения, Прямоугольный параллелепипед, Угол между плоскостями

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь