Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Точки M, N и P лежат на бо­ко­вых реб­рах пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA_1B_1C_1 и делят их в от­но­ше­нии AM:MA_1=1:2, BN:NB_1=1:3, CP:PC_1=2:3.

а)  В каком от­но­ше­нии делит объем приз­мы плос­кость, про­хо­дя­щая через точки M, N и P?

б)  До­ка­жи­те, что MNP  — пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, если сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы равна 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , а бо­ко­вое ребро равно 60.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим вы­со­ту приз­мы за 60h, а сто­ро­ну ос­но­ва­ния за 2a. Тогда пло­щадь ос­но­ва­ния дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2a умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та a= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та a в квад­ра­те и объем всей приз­мы равен 60 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ha в квад­ра­те =V. От­ме­тим, что AM=20h, BN=15h, CP=24h.

а)  Имеем:

V_ABCMNP=V_NMPAC плюс V_NBAC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка N, MPAC пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_MPAC плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка N,ABC пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_ABC=

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та a умно­жить на дробь: чис­ли­тель: AM плюс PC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AC плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на BN умно­жить на S_ABC=

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та a умно­жить на 22h умно­жить на 2a плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 15h умно­жить на a в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 59, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ha в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Зна­чит, объем вто­рой части равен

V минус дробь: чис­ли­тель: 59, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ha в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 121, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ha в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та

и от­но­ше­ние объ­е­мов 59:121.

 

Ком­мен­та­рий. Можно до­ка­зать, что это от­но­ше­ние все­гда равно левая круг­лая скоб­ка AM плюс BN плюс CP пра­вая круг­лая скоб­ка : левая круг­лая скоб­ка A_1M плюс B_1N плюс C_1P пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

б)  От­рез­ки MN, NP и MP можно найти из пря­мо­уголь­ных тра­пе­ций MNBA, NPCB и MPCA со­от­вет­ствен­но. На­при­мер, если опу­стить вы­со­ту из N на AM, то она будет равна AB=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , от­ре­зок от ее ос­но­ва­ния до M будет равен AM минус BN=20h минус 15h=5h=5, по­сколь­ку 60h=60. Зна­чит, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра MN= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 40 плюс 25 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 65 конец ар­гу­мен­та . Ана­ло­гич­но BP= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 40 плюс 81 конец ар­гу­мен­та =11 и CP= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 40 плюс 16 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 56 конец ар­гу­мен­та . По­сколь­ку 56 плюс 65=121, тре­уголь­ник MNP пря­мо­уголь­ный по об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра.

 

Ответ: а) 59:121.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 252
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Объем как сумма объ­е­мов ча­стей, Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, Се­че­ние  — тре­уголь­ник, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025