Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 527317

Точки M, N и P лежат на боковых ребрах правильной треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 и делят их в отношении AM:MA_1=1:2, BN:NB_1=1:3, CP:PC_1=2:3.

а) В каком отношении делит объем призмы плоскость, проходящая через точки M, N и P?

б) Докажите, что MNP — прямоугольный треугольник, если сторона основания призмы равна 2 корень из 10, а боковое ребро равно 60.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим высоту призмы за 60h, а сторону основания за 2a. Тогда площадь основания  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2a умножить на корень из 3a= корень из 3a в квадрате и объем всей призмы равен 60 корень из 3ha в квадрате =V. Отметим, что AM=20h, BN=15h, CP=24h.

а) Имеем:

V_ABCMNP=V_NMPAC плюс V_NBAC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка N, MPAC правая круглая скобка умножить на S_MPAC плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка N,ABC правая круглая скобка умножить на S_ABC=

= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на корень из 3a умножить на дробь: числитель: AM плюс PC, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AC плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на BN умножить на S_ABC=

= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на корень из 3a умножить на 22h умножить на 2a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 15h умножить на a в квадрате корень из 3= дробь: числитель: 59, знаменатель: 3 конец дроби ha в квадрате корень из 3.

Значит, объем второй части равен

 V минус дробь: числитель: 59, знаменатель: 3 конец дроби ha в квадрате корень из 3= дробь: числитель: 121, знаменатель: 3 конец дроби ha в квадрате корень из 3

и отношение объемов 59:121.

 

Комментарий. Можно доказать, что это отношение всегда равно  левая круглая скобка AM плюс BN плюс CP правая круглая скобка : левая круглая скобка A_1M плюс B_1N плюс C_1P правая круглая скобка .

 

б) Отрезки MN, NP и MP можно найти из прямоугольных трапеций MNBA, NPCB и MPCA соответственно. Например, если опустить высоту из N на AM, то она будет равна AB=2 корень из 10, отрезок от ее основания до M будет равен AM минус BN=20h минус 15h=5h=5, поскольку 60h=60. Значит, по теореме Пифагора MN= корень из 40 плюс 25= корень из 65. Аналогично BP= корень из 40 плюс 81=11 и CP= корень из 40 плюс 16= корень из 56. Поскольку 56 плюс 65=121, треугольник MNP прямоугольный по обратной теореме Пифагора.

 

Ответ: а) 59:121.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 252.