В окружность нижнего основания цилиндра с высотой 2 вписан правильный треугольник ABC со стороной 
В окружность верхнего основания вписан правильный треугольник A1B1C1 так, что он повернут относительно треугольника ABC на угол 60°.
а) Докажите, что четырехугольник ABB1C1 — прямоугольник.
б) Найдите объем многогранника ABCA1B1C1.
а) Рассмотрим угол между прямыми AO и 
по условию, он равен 60°. При этом 
как центральный в равностороннем треугольнике. Значит, угол между AO и 
равен 180° или, иными словами, 
Очевидно, что 
следовательно, 
Кроме того, 
таким образом, 
— параллелограмм. Пусть теперь, B' — проекция 
на нижнее основание. Так как 
отрезок 
— диаметр, следовательно, угол ABB' — прямой. Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, 
а — прямоугольник.
б) Требуемый многогранник можно разбить на две равных четырехугольных пирамиды, общим основанием которых является прямоугольник 
а вершинами — точки 
и 
Одна из сторон основания — сторона треугольника 
Вторую сторону найдем из прямоугольного треугольника 
Отрезок 
является катетом прямоугольного треугольника 
с катетом 
и 
откуда 
Таким образом, 
а 
Осталось найти высоты пирамид.
Рассмотрим осевое сечение цилиндра 
проходящее через точки C и 
Пусть MN — линия его пересечения с прямоугольником где M — середина AB, а N — 
Опустим на MN из перпендикуляр 
докажем, что это высота пирамиды, и найдем ее.
Заметим, что 
и 
следовательно, 
Отрезок AH лежит в плоскости значит, 
Кроме того, 
(по построению), тогда 
и является высотой пирамиды.
Точка 
является центром верхнего основания, следовательно, 
а 
Очевидно, что 
следовательно, 
а 
тогда 
то есть, по теореме теореме Пифагора, имеем 
откуда 
Тогда 
Ответ: 