Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 528144

В окружность нижнего основания цилиндра с высотой 2 вписан правильный треугольник ABC со стороной  корень из 3. В окружность верхнего основания вписан правильный треугольник A1B1C1 так, что он повернут относительно треугольника ABC на угол 60°.

а)  Докажите, что четырехугольник ABB1C1  — прямоугольник.

б)  Найдите объем многогранника ABCA1B1C1.

Спрятать решение

Решение.

а)  Рассмотрим угол между прямыми AO и A_1O_1, по условию, он равен 60°. При этом \angle A_1O_1B_1=120 градусов как центральный в равностороннем треугольнике. Значит, угол между AO и OB_1 равен 180° или, иными словами, AO||O_1B. Очевидно, что \angle OAB=\angle O_1B_1C_1, следовательно, AB || B_1C_1. Кроме того, AB=B_1C_1, таким образом, ABB_1C_1  — параллелограмм. Пусть теперь, B'  — проекция B_1 на нижнее основание. Так как AO||O_1B отрезок AB'  — диаметр, следовательно, угол ABB'  — прямой. Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, BB_1\perp AB, а ABB_1C_1  — прямоугольник.

б)  Требуемый многогранник можно разбить на две равных четырехугольных пирамиды, общим основанием которых является прямоугольник ABB_1C_1, а вершинами  — точки A_1 и C. Одна из сторон основания  — сторона треугольника AB= корень из 2. Вторую сторону найдем из прямоугольного треугольника BB'B_1. Отрезок BB' является катетом прямоугольного треугольника ABB' с катетом AB= корень из 3 и \angle BAB'=30 градусов, откуда BB'=AO=OB'= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB'=1. Таким образом, BB_1= корень из 5, а S_ABB_1C_1= корень из 15. Осталось найти высоты пирамид.

 

Рассмотрим осевое сечение цилиндра A'A_1C'C_1, проходящее через точки C и A_1. Пусть MN  — линия его пересечения с прямоугольником ABB_1C_1, где M  — середина AB, а N  — B_1C_1. Опустим на MN из A_1 перпендикуляр A_1H, докажем, что это высота пирамиды, и найдем ее.

Заметим, что A_1C'\perp B_1C_1 и C'C\perp B_1C_1, следовательно, B_1C_1\perp A'A_1C'C_1. Отрезок AH лежит в плоскости A'A_1C'C_1, значит, AH\perp B_1C_1. Кроме того, AH\perp MN (по построению), тогда AH\perp ABB_1C_1 и является высотой пирамиды.

Точка O_1 является центром верхнего основания, следовательно, O_1N= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , а A_1N= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби . Очевидно, что \Delta KNO_1=\Delta KMO, следовательно, OM=ON= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , OK=O_1K=1, а \Delta A_1NH\sim \Delta KNO_1, тогда  дробь: числитель: HN, знаменатель: A_1H конец дроби = дробь: числитель: O_1N, знаменатель: O_1K конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , то есть, по теореме теореме Пифагора, имеем A_1H в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: A_1H, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате , откуда A_1H= дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из 5 конец дроби .

Тогда V_ABCA_1B_1C_1=2V_A_1ABB_1C_1=2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на A_1H умножить на S_ABB_1C_1= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из 5 конец дроби умножить на корень из 3 умножить на корень из 5=2 корень из 3.

 

Ответ: 2 корень из 3.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 284.
Классификатор стереометрии: Объем тела, Цилиндр