Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие ин­тер­ва­лу

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 8, BC = 6, AA₁ = 12. Точка K  — се­ре­ди­на ребра AD, точка M лежит на ребре DD₁ так, что DM : D₁M = 1 : 2.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая BD₁ па­рал­лель­на плос­ко­сти CKM.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью CKM.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Точка M лежит на диа­мет­ре AB окруж­но­сти с цен­тром О. С и D  — точки окруж­но­сти, рас­по­ло­жен­ные по одну сто­ро­ну от AB, при­чем ∠CMA = ∠DMB.

а)  До­ка­жи­те, что ∠OCM = ∠ODM.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка COMD, если из­вест­но, что OM  =  4, BM  =  2, ∠CMA = ∠DMB  =  45°.

Го­ро­да А и В рас­по­ло­же­ны на бе­ре­гу реки, при­чем город В лежит ниже по те­че­нию. В 6 часов утра из А в В от­пра­вил­ся плот. В тот же мо­мент из В в А от­пра­ви­лась лодка, ко­то­рая встре­ти­лась с пло­том в 11 часов утра. До­плыв до го­ро­да А, лодка сразу же по­вер­ну­ла об­рат­но и при­плы­ла в город В од­но­вре­мен­но с пло­том. Успе­ли ли лодка и плот при­быть в город В к 6 ч ве­че­ра того же дня?

Най­ди­те все а, при каж­дом из ко­то­рых функ­ция имеет ровно два экс­тре­му­ма на про­ме­жут­ке (−2; 3).

а)  Может ли сумма че­ты­рех на­ту­раль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же че­ты­рех чисел?

б)  Может ли сумма че­ты­рех раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же че­ты­рех чисел?

в)  Может ли сумма 2015 раз­лич­ных по­ло­жи­тель­ных ра­ци­о­наль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же 2015 чисел?