а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA равно 4. Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CE ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б)  Най­ди­те пе­ри­метр мно­го­уголь­ни­ка, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD через каж­дую его вер­ши­ну про­ве­де­на пря­мая, про­хо­дя­щая через центр впи­сан­ной в него окруж­но­сти. Три из этих пря­мых об­ла­да­ют тем свой­ством, что каж­дая из них делит пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка на две рав­но­ве­ли­кие части.

а)  До­ка­жи­те, что и чет­вер­тая пря­мая об­ла­да­ет тем же свой­ством.

б)  Какие зна­че­ния могут при­ни­мать углы этого че­ты­рех­уголь­ни­ка, если один из них равен 108°?

В июле 2019 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 6 лет в раз­ме­ре 880 000 руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 20% по срав­не­нию с дол­гом на конец преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь еже­год­но не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить по 250 000 руб­лей;

  — в 2024 и 2025 годах до­пол­ни­тель­но про­из­во­дят­ся вы­пла­ты по S руб­лей;

  — к июлю 2025 года долг будет вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те S.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

Уча­щи­е­ся 11 клас­сов сда­ва­ли тесты по раз­лич­ным пред­ме­там. Каж­дый тест оце­ни­ва­ет­ся от 0 до 100 бал­лов. После по­лу­че­ния ре­зуль­та­тов пя­те­ро дру­зей ре­ши­ли срав­нить по­лу­чен­ные баллы. Каж­дый сда­вал рус­ский язык и про­филь­ную ма­те­ма­ти­ку, чет­ве­ро сда­ва­ли фи­зи­ку, трое сда­ва­ли ин­фор­ма­ти­ку, двое сда­ва­ли об­ще­ст­во­зна­ние. Общая сумма бал­лов по фи­зи­ке не боль­ше 300, а по ин­фор­ма­ти­ке  — не мень­ше 220. Сумма бал­лов по об­ще­ст­во­зна­нию ока­за­лась равна сумме двух луч­ших ре­зуль­та­тов по фи­зи­ке и ин­фор­ма­ти­ке.

а)  Мог ли один из дру­зей не сдать хотя бы один эк­за­мен?

б)   Могли ли двое не сдать какой‐то эк­за­мен, если два участ­ни­ка на­пи­са­ли об­ще­ст­во­зна­ние на 78 и 87 бал­лов?

в)   Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство участ­ни­ков могли не сдать хотя бы один эк­за­мен, если луч­шая ра­бо­та по фи­зи­ке оце­не­на не более чем в 80 бал­лов, по ин­фор­ма­ти­ке  — не более 75 бал­лов, по об­ще­ст­во­зна­нию  — не менее 90 бал­лов?

Ука­за­ние. Тест счи­та­ет­ся не­сдан­ным, если за него по­лу­че­но 0 бал­лов.