а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана тре­уголь­ная пи­ра­ми­да ABCD объ­е­мом 40. Через вер­ши­ну A и се­ре­ди­ну M ребра BC про­ве­де­на плос­кость, пе­ре­се­ка­ю­щая ребро BD в точке N. Рас­сто­я­ние от вер­ши­ны B до этой плос­ко­сти равно 4, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMN равна 5.

а)  До­ка­жи­те, что точка N делит ребро BD в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от точки B.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ABC пи­ра­ми­ды, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что ребро BD пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ABC и равно 15.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Вы­со­ты рав­но­бед­рен­но­го ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, в ко­то­ром AB  =  BC, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. От­ре­зок AO  =  5, а длина вы­со­ты AD равна 8.

а)  До­ка­жи­те, что длина сто­ро­ны AC тре­уголь­ни­ка ABC равна вы­со­те, опу­щен­ной на нее из вер­ши­ны B.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

20 фев­ра­ля пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 600 тысяч руб­лей на (n + 1) месяц. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2 по 19 число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  — 20 числа каж­до­го с 1 по n‐й месяц долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 20 число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — за (n + 1)-й месяц долг дол­жен быть по­га­шен пол­но­стью.

Най­ди­те n, если банку будет вы­пла­че­но 691 тыс. руб., а долг на 20‐е число n‐го ме­ся­ца со­ста­вит 100 тыс. руб.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Сева каж­дый день за­пол­ня­ет таб­ли­цу 3 на 3 клет­ки чис­ла­ми 0, 2 или 4. При этом он рас­счи­ты­ва­ет день ото дня ре­шать все более и более ам­би­ци­оз­ные за­да­чи:

− Пн: до­бить­ся того, чтобы суммы чисел по стро­кам были раз­лич­ны;

− Вт: суммы чисел по стро­кам и хотя бы в одном из столб­цов были раз­лич­ны;

− Ср: суммы чисел по стро­кам и хотя бы в двух столб­цах были раз­лич­ны;

− Чт: суммы чисел по стро­кам и столб­цам были раз­лич­ны;

− Пт: суммы чисел по стро­кам, столб­цам и одной из глав­ных диа­го­на­лей были раз­лич­ны;

− Сб: суммы чисел по стро­кам, столб­цам и обеим глав­ным диа­го­на­лям были раз­лич­ны.

а)  Смо­жет ли Сева вы­пол­нить свой план на втор­ник, если хо­ро­шо по­ста­ра­ет­ся?

б)  Смо­жет ли Сева вы­пол­нить свой план на суб­бо­ту, если по­ста­ра­ет­ся пуще преж­не­го?

в)  В какие дни Сева точно не смо­жет вы­пол­нить свой план?