В правильной пирамиде SABC точки N и M — середины ребер AB и BC соответственно. На боковом ребре SA отмечена точка K, SK : KA = 1 : 3. Сечение пирамиды плоскостью MNK является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке Q.
а) Докажите, что точка Q лежит на высоте пирамиды.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 4.
а) Отрезок MN является средней линией треугольника ABC, следовательно, 
Таким образом, сечение пересекает грань SAC по прямой, также параллельной AC. Пусть L — точка пересечения сечения с ребром SC, тогда 
а сечение KLMN — равнобедренная трапеция.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью BSH, где H — середина стороны AC. Пусть R и T — середины оснований MN и KL трапеции соответственно. Тогда высота трапеции RT проходит через точку Q пересечения диагоналей трапеции, причём так как 
а 
из подобия треугольников KLQ и MNQ, получаем 
Отрезок TR и высота пирамиды SO лежат в плоскости BSH. Пусть они пересекаются в точке Q'. Докажем, что она совпадает с точкой Q. В сечении BSH проведём отрезок TW параллельно BH, где W — точка на высоте пирамиды. Треугольники TQ'W и RQ'O подобны. При этом
Таким образом, 
а, значит, точки Q' и Q совпадают, и Q лежит на высоте пирамиды SO.
б) Так как 
то 
а 
Осталось найти высоту трапеции RT. Из пункта а) получаем, что 
при этом 
Следовательно, 
Тогда
Откуда
Ответ: 