а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пи­ра­ми­де ABCD про­ве­де­но се­че­ние КМLN так, что точка K  — лежит на ребре AD, точка М  — на ребре DC, точка N  — на ребре АВ, точка L  — на ребре ВС, и О  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей KL и MN че­ты­рех­уголь­ни­ка KMLN. Из­вест­но, что Р  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти се­че­ния и пря­мой АС, OL : OK  =  3 : 4, ON : OM  =  24 : 25, DK · NA − KA · BN  =  KA · NA.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Се­че­ние KMLN делит пи­ра­ми­ду на две части. Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов этих ча­стей.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2025 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 700 тыс. руб. на 10 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  — в июле каж­до­го из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг дол­жен быть на какую-то одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше по срав­не­нию с июлем преды­ду­ще­го года;

  — в июле каж­до­го из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг дол­жен быть на дру­гую одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше по срав­не­нию с июлем преды­ду­ще­го года;

  —  к июлю 2035 года кре­дит дол­жен быть вы­пла­чен.

Из­вест­но, что сумма вы­плат по кре­ди­ту со­ста­вит 1420 тыс. руб. Най­ди­те, сколь­ко руб­лей со­ста­вит вы­пла­та в 2026 году.

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC. Бис­сек­три­сы углов BAD и BCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Через точку O про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции и пе­ре­се­ка­ю­щая ее бо­ко­вые сто­ро­ны.

а)  До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка этой пря­мой с кон­ца­ми на бо­ко­вых сто­ро­нах тра­пе­ции, равна ее бо­ко­вой сто­ро­не.

6)  Най­ди­те от­но­ше­ние длин ос­но­ва­ний тра­пе­ции, если и дан­ная пря­мая делит AB в от­но­ше­нии

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно одно ре­ше­ние на от­рез­ке

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко (более од­но­го) раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, при­чем любые два из них от­ли­ча­ют­ся не более чем в три раза.

а)  Может ли на доске быть 5 чисел, сумма ко­то­рых равна 47?

б)  Может ли на доске быть 10 чисел, сумма ко­то­рых равна 94? 

в)  Сколь­ко может быть чисел на доске, если их про­из­ве­де­ние равно 8000?