Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 505839
i

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA_1B_1C_1, все ребра ко­то­рой равны, точка K  — се­ре­ди­на B_1C_1. Най­ди­те угол между плос­ко­стью ABC и плос­ко­стью B_1KP, где P  — се­ре­ди­на AA_1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние:

Пусть ребро за­дан­ной приз­мы равно 2. Вве­дем де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат. Вы­бе­рем на­ча­ло ко­ор­ди­нат в точке O  — се­ре­ди­не ребра AB. Ось x на­пра­вим по OC, ось y  — по OB, ось z  — по OO_1; O_1  — се­ре­ди­на A_1B_1. При вы­бран­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат и длине ребра приз­мы най­дем ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек:

O левая круг­лая скоб­ка 0; 0; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , B_1 левая круг­лая скоб­ка 0;1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка , C_1 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ;0;2 пра­вая круг­лая скоб­ка , P левая круг­лая скоб­ка 0; минус 1;1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ясно, что урав­не­ние плос­ко­сти ABC будет иметь вид: z=0 , а плос­кость B_1KP прой­дет через точку C_1 , т. е. сов­па­дет с плос­ко­стью B_1C_1P.

Урав­не­ние плос­ко­сти B_1C_1P будем ис­кать в виде ax плюс by плюс cz плюс d=0. Пусть d=1. Най­дем зна­че­ния a, b и c ме­то­дом не­опре­де­лен­ных ко­эф­фи­ци­ен­тов.

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка a умно­жить на 0 минус b умно­жить на 1 плюс c умно­жить на 1 плюс 1=0 , новая стро­ка d=1 , новая стро­ка a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс b умно­жить на 0 плюс c умно­жить на 2 плюс 1=0 , новая стро­ка a умно­жить на 0 плюс b умно­жить на 1 плюс c умно­жить на 2 плюс 1=0 конец си­сте­мы .  рав­но­силь­но   си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка минус b плюс c= минус 1 , новая стро­ка d=1 , новая стро­ка a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 2c= минус 1 , новая стро­ка b плюс 2c= минус 1 конец си­сте­мы .  рав­но­силь­но   си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка d=1 , новая стро­ка c= минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , новая стро­ка b= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , новая стро­ка a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . конец си­сте­мы .

Ис­ко­мое урав­не­ние имеет вид: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби y минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби z плюс 1=0 или x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та y минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та z плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =0.

Угол между плос­ко­стя­ми ABC и B_1C_1P равен углу между их нор­маль­ны­ми век­то­ра­ми \overrightarrowm и \overrightarrown со­от­вет­ствен­но. \overrightarrowm левая фи­гур­ная скоб­ка 0;0;1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка , \overrightarrown левая фи­гур­ная скоб­ка 1; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая фи­гур­ная скоб­ка . Для отыс­ка­ния угла \varphi (так обо­зна­чим ис­ко­мый угол) вос­поль­зу­ем­ся опре­де­ле­ни­ем ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния двух век­то­ров. ко­си­нус \varphi = дробь: чис­ли­тель: |\overrightarrowm умно­жить на \overrightarrown|, зна­ме­на­тель: |\overrightarrowm| умно­жить на |\overrightarrown| конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \left| 0 умно­жить на 1 плюс 0 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 1 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 3 плюс 12 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

\varphi =30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 1
Методы геометрии: Метод ко­ор­ди­нат
Классификатор стереометрии: Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, Угол между плос­ко­стя­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025