В правильной четырехугольной пирамиде FABCD с основанием ABCD все ребра равны 5. Точки M, N лежат на ребрах BC и CD соответственно, причем СМ = 3, DN = 2.
Плоскость α проходит через точки M, N и параллельна прямой FC.
а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна ребру AF.
б) Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью α.
а) Поскольку 
Заметим, что 
поскольку проекция FC на плоскость ABCD совпадает с прямой AC, а 
Кроме того, треугольники AFC и ABC равны по трем сторонам, следовательно, 
Итак, плоскость сечения параллельна двум непараллельным прямым (DB и FC), которые перпендикулярны AF. Значит, и плоскость перпендикулярна AF.
б) Построим это сечение. Проведем через точки M и N прямые, параллельные CF, и отметим точки их пересечения с BF и DF соответственно. Назовем эти точки S и P. Очевидно, 
откуда 
тогда и 
Отметим точку пересечения MN с AC (точка K) и проведем через нее прямую, параллельную FC. Она пересечет AF в некоторой точке (назовем ее Q). Тогда сечение пирамиды — пятиугольник MNPQS. Осталось найти его площадь. Обозначим за O точку пересечения диагоналей основания.
Поскольку 
то 
Поэтому MNPS — прямоугольник (стороны MS и PN равны и параллельны, есть прямой угол) и его площадь составляет 
Далее
откуда 
Пусть KQ пересекает PS в точке T, тогда
и 
Окончательно
Ответ: 