а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­но от­но­ше­ние ребер АВ : BC : CC₁  =  1 : 2 : 3.

а)  Най­ди­те угол между пря­мой BD₁ и плос­ко­стью ВС₁D.

б)  До­ка­жи­те, что ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми АА₁D и ВС₁D равен

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

На ос­но­ва­нии АС рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка АВС рас­по­ло­же­на точка D так, что AD  =  2, CD  =  1. Окруж­но­сти, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки ABD и DBC, ка­са­ют­ся пря­мой BD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN.

б)   До­ка­жи­те, что ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABD, не может быть более чем в 2 раза боль­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник DBC.

15 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 600 000 руб­лей на 24 ме­ся­ца. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

− 1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

− со 2‐го по 14‐е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

− 15‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

На сколь­ко руб­лей уве­ли­чит­ся сумма вы­плат, если взять кре­дит с теми же усло­ви­я­ми на 30 ме­ся­цев?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние имеет три корня.

В фирме име­ет­ся n от­де­лов, в одном из ко­то­рых ра­бо­та­ет 1/8 со­труд­ни­ков, в дру­гом  — 210 со­труд­ни­ков, а чис­лен­ность каж­до­го из остав­ших­ся от­де­лов со­став­ля­ет 1/9 от всего ко­ли­че­ства со­труд­ни­ков фирмы.

а)  Может ли быть n > 9?

б)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.