а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD на реб­рах CD и SC от­ме­че­ны точки N и K со­от­вет­ствен­но, при­чем DN : NC  =  SK : KC  =  1 : 4. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую KN и па­рал­лель­на пря­мой BC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой SA.

б)  Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии плос­кость α делит объем пи­ра­ми­ды.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В на­ча­ле ян­ва­ря 2022 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 4 года на S млн руб­лей, где S  — целое число. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый июль долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с на­ча­лом те­ку­ще­го года;

  — с ав­гу­ста по де­кабрь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в ян­ва­ре каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей:

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром сумма вы­плат банку за все 4 года со­ста­вит не менее 10 мил­ли­о­нов руб­лей.

На диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма взяли точку, от­лич­ную от её се­ре­ди­ны. Из неё на все сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма (или их про­дол­же­ния) опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры.

а)  До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник, об­ра­зо­ван­ный ос­но­ва­ни­я­ми этих пер­пен­ди­ку­ля­ров, яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­ной тра­пе­ции, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна 16, а один из его углов равен 60°.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

По кругу в не­ко­то­ром по­ряд­ке по од­но­му разу на­пи­са­ны числа от 9 до 18. Для каж­дой из де­ся­ти пар со­сед­них чисел нашли их наи­боль­ший общий де­ли­тель.

а)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что все наи­боль­шие общие де­ли­те­ли равны 1?

б)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что все наи­боль­шие общие де­ли­те­ли по­пар­но раз­лич­ны?

в)   Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­пар­но раз­лич­ных наи­боль­ших общих де­ли­те­лей могло при этом по­лу­чить­ся?