Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ние пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ слу­жит па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Точка P  — се­ре­ди­на ребра AB.

а)  До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые раз­би­ва­ет приз­му плос­кость PCD₁, равно 7 : 17.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью PCD₁, если из­вест­но, что AB  =  8, AD  =  3, AA₁  =  4, ∠BAD  =  120°.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ме­ди­а­на AA₁ и BB₁ тре­уголь­ни­ка ABC пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что CO  =  AB.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что AC  =  4, BC  =  3.

Пла­ни­ру­ет­ся вы­дать льгот­ный кре­дит на целое число мил­ли­о­нов руб­лей на че­ты­ре года. В се­ре­ди­не каж­до­го года дей­ствия кре­ди­та долг заёмщика воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с на­ча­лом года. По до­го­ворённо­сти с бан­ком в конце 1-го и 3-го годов заёмщик вы­пла­чи­ва­ет толь­ко про­цен­ты по кре­ди­ту, на­чис­лен­ные за со­от­вет­ству­ю­щий те­ку­щий год. В конце 2-го и 4-го годов заёмщик вы­пла­чи­ва­ет оди­на­ко­вые суммы, по­га­шая к концу 4-го года весь долг пол­но­стью. Най­ди­те наи­мень­ший раз­мер кре­ди­та, при ко­то­ром общая сумма вы­плат заёмщика пре­вы­сит 100 млн. руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два ре­ше­ния.

На каж­дой из 28 ко­стей до­ми­но на­пи­са­ны два целых числа, не мень­ших 0 и не боль­ших 6 так, что они об­ра­зу­ют все воз­мож­ные пары по од­но­му разу (0-0, 0-1, 0-2 и так далее до 6-6).

Все кости до­ми­но раз­ло­жи­ли на не­сколь­ко кучек и для каж­дой кучки под­счи­та­ли сумму всех чисел на ко­стях, на­хо­дя­щих­ся в этой кучке. Ока­за­лось, что по­лу­чен­ные суммы об­ра­зу­ют воз­рас­та­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

а)  Могло ли быть 7 кучек?

б)  Могло ли быть 9 кучек?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство кучек могло быть?