Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 505961
i

В пра­виль­ной приз­ме ABCA_1B_1C_1 со сто­ро­ной ос­но­ва­ния, рав­ной 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та и вы­со­той, рав­ной 2, про­ве­де­но се­че­ние через пря­мую BC, ко­то­рое делит приз­му на 2 мно­го­гран­ни­ка рав­ных объ­е­мов. Найти пло­щадь се­че­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние:

Се­че­ние  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция BD_1E_1C.

Рас­смот­рим усе­чен­ную пи­ра­ми­ду ABCA_1D_1E_1, с ос­но­ва­ни­я­ми: \Delta ABC и \Delta A_1D_1E_1.

Пусть S левая круг­лая скоб­ка ABC пра­вая круг­лая скоб­ка =t в квад­ра­те , тогда объем приз­мы V=2t в квад­ра­те (здесь 2  — вы­со­та приз­мы, сле­до­ва­тель­но, и усе­чен­ной пи­ра­ми­ды).

И пусть V_1  — объем на­зван­ной усе­чен­ной пи­ра­ми­ды. Тогда V_1=t в квад­ра­те .

По фор­му­ле объ­е­ма усе­чен­ной пи­ра­ми­ды будем иметь: t в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те S плюс S пра­вая круг­лая скоб­ка , где 2  — вы­со­та усе­чен­ной пи­ра­ми­ды, S  — пло­щадь его верх­не­го ос­но­ва­ния. Оче­вид­но, что S мень­ше t в квад­ра­те , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S конец ар­гу­мен­та мень­ше t.

3t в квад­ра­те =2t в квад­ра­те плюс 2t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S конец ар­гу­мен­та плюс 2S или 2S плюс 2t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S конец ар­гу­мен­та минус t в квад­ра­те =0.

 

Решим по­след­нее урав­не­ние от­но­си­тель­но  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S конец ар­гу­мен­та .

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: минус t\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс 2t в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус t\pm t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: t умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та \pm 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

По­сколь­ку  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S конец ар­гу­мен­та мень­ше t, то най­ден­ный ко­рень  дробь: чис­ли­тель: t умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби не по­дой­дет. Сле­до­ва­тель­но,  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: t умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , S= дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Оче­вид­но, что \Delta A_1D_1E_1 ~ \Delta ABC с не­ко­то­рым ко­эф­фи­ци­ен­том k.

Тогда k в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: S левая круг­лая скоб­ка ABC пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , k в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: S левая круг­лая скоб­ка ABC пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

AD=D_1E_1=k умно­жить на BC= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3 минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =1.

За­ме­тим также, что A_1D_1=AD=D_1E_1=1. BD=AB минус AD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

BD_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BD конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс DD_1 в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 плюс 4 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та . BK= дробь: чис­ли­тель: BC минус D_1, зна­ме­на­тель: E_1 конец дроби 2= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 1 минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

D_1K= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BD конец ар­гу­мен­та _1 в квад­ра­те минус BK в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . S левая круг­лая скоб­ка BD_1E_1C пра­вая круг­лая скоб­ка =
= дробь: чис­ли­тель: D_1, зна­ме­на­тель: E_1 конец дроби плюс BC2 умно­жить на D_1K= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 1 плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 5 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 20
Классификатор стереометрии: Пло­щадь се­че­ния, Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, Се­че­ние  — тра­пе­ция