Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 505907
i

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA_1B_1C_1 лежит пря­мо­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C и ги­по­те­ну­зой 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та . Найти рас­сто­я­ние от точки В до пря­мой A_1M, если точка М  — се­ре­ди­на ребра CC_1, ко­то­рое равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем: 2AC в квад­ра­те =AB в квад­ра­те =60; AC в квад­ра­те =A_1C_1 в квад­ра­те =30.

A_1M= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: A конец ар­гу­мен­та _1C_1 в квад­ра­те плюс C_1M в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 плюс дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 75, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

A_1B= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс AA_1 в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 умно­жить на 15 плюс 30 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 90 конец ар­гу­мен­та .

Оче­вид­но, что BM=A_1M= дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Для по­лу­че­ния ис­ко­мо­го рас­сто­я­ния вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом пло­ща­дей. Най­дем пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка A_1MB. Для этого вы­чис­лим вы­со­ту этого тре­уголь­ни­ка h, опу­щен­ную на ос­но­ва­ние A_1B.

h= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: B конец ар­гу­мен­та _1M в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: A_1, зна­ме­на­тель: B в квад­ра­те конец дроби 4= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 75, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 90, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 75, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 45, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та .

2S левая круг­лая скоб­ка A_1MB пра­вая круг­лая скоб­ка =A_1B умно­жить на h= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 90 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 умно­жить на 15 умно­жить на 15 конец ар­гу­мен­та =15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

 

Это с одной сто­ро­ны. Но с дру­гой же сто­ро­ны 2S левая круг­лая скоб­ка A_1MB пра­вая круг­лая скоб­ка =A_1M умно­жить на \rho левая круг­лая скоб­ка B;A_1M пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Сле­до­ва­тель­но, \rho левая круг­лая скоб­ка B;A_1M пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2S левая круг­лая скоб­ка A_1MB пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: A_1M конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби =6.

 

Ответ: 6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 11
Методы геометрии: Метод пло­ща­дей
Классификатор стереометрии: Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025