Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 506081
i

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC из­вест­ны ребра AB=24 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , SC = 25. Най­ди­те угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стью ос­но­ва­ния и пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ребер AS и BC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние:

1)  Ко­ор­ди­нат­но-век­тор­ным ме­то­дом.

По­ме­стим пи­ра­ми­ду в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

Урав­не­ние ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды имеет вид: z=0. Сле­до­ва­тель­но, ко­ор­ди­на­ты ее нор­маль­но­го век­то­ра \overlinen= левая круг­лая скоб­ка \overline0;0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

AD = дробь: чис­ли­тель: AB ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 24 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =36,

 

BO=AO= дробь: чис­ли­тель: 36 умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =24, OE=DO= дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =12,

 

SO= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SA конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус AO в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 24 в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 умно­жить на 49 конец ар­гу­мен­та =7.

Най­дем ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек:

D левая круг­лая скоб­ка 6; минус 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , M левая круг­лая скоб­ка минус 6;6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \overlineDM= левая круг­лая скоб­ка \overline12;12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Если ис­ко­мый угол равен \varphi , то

синус \varphi = дробь: чис­ли­тель: \left| 0 умно­жить на 12 плюс 0 умно­жить на 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 1 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 0 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс 0 в квад­ра­те плюс 1 в квад­ра­те умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 144 плюс 432 плюс дробь: чис­ли­тель: 49, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7 умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 576 плюс 1728 плюс 49 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2353 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

2)   Решим за­да­чу эле­мен­тар­но-гео­мет­ри­че­ским ме­то­дом.

Вы­со­ту пи­ра­ми­ды, вы­со­ты ос­но­ва­ния вы­чис­лим так же, как это сде­ла­но выше.

MK= дробь: чис­ли­тель: SO, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;   тан­генс \varphi = дробь: чис­ли­тель: MK, зна­ме­на­тель: DK конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 24 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби .

Не­труд­но по­ка­зать, что арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби = арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2353 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Дей­стви­тель­но, синус \varphi = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2353 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те \varphi конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2353, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те \varphi конец дроби минус 1= дробь: чис­ли­тель: 2353, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби минус 1= дробь: чис­ли­тель: 2304, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби =\ctg в квад­ра­те }\varphi .

 

\ctg\varphi = дробь: чис­ли­тель: 48, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; тан­генс \varphi = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби .

 

Ответ: арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2353 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 4*
Методы геометрии: Метод ко­ор­ди­нат
Классификатор стереометрии: Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, Угол между пря­мы­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026