В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SB в отношении 3 : 1, считая от вершины S.
б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.
Решение 1:
а) Обозначим середины ребер SA и SE за M и N соответственно. Прямая MN || AE, как средняя линия, и, следовательно, параллельна плоскости основания пирамиды. Это означает, что плоскость сечения пересекается с плоскостью основания по прямой a параллельной MN и проходящей через точку C. Пусть прямая AB пересекается с прямойa в точке P. Тогда точка P является одновременно точкой сечения и плоскости SAB. Пусть прямая MP пересекает ребро SB в точке K. Требуется доказать, что SK : KB = 3 : 1. Рассмотрим плоскость SAB, в соответствующем треугольнике проведем среднюю линию MM' || AB. Заметим теперь, что из свойств правильного шестиугольника отрезок 
Таким образом, треугольники MM'K и PBK равны, следовательно, 
Значит, SK : KB = 3 : 1.
б) Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SCF. Так как боковое ребро пирамиды вдвое больше ребра основания треугольник SCF — равносторонний. Пусть RT — его средняя линия параллельна плоскости основания пирамиды, как и MN, значит, они пересекаются. Назовем точку их пересечения W. Точка W — точка пересечения RT и плоскости сечения пирамиды. Значит, сечение пирамиды и плоскостьSCF пересекаются по прямой CW. Точку пересечения этой прямой с ребром SF назовем G. Таким образом, требуется найти SG : GF. Точка R — середина SF, значит, R', ее проекция на FC, — середина FO, где O — центр основания. Эта же точка является точкой пересечения AE и FC. Так как MN — средняя линия треугольника SAE, то W' — проекция точки W на FC является серединой R'O. Таким образом,
Треугольники GRW и GFC — подобны с коэффициентом 
Значит
Следовательно, учитывая, что R — середина SF,
Ответ: 3 : 4
Решение 2:
а) Обозначим середины ребер SA и SE за M и N соответственно. Тогда MN || AE || BD. Проведем через точку C прямую, параллельную AE (она будет лежать в плоскости сечения), тогда она пересечет AB в точке Р, причем по свойствам шестиугольника AB = 2BP. Пусть теперь K точка пересечения прямой MР с SB.
По теореме Менелая для треугольника ASB и прямой MKР имеем 
откуда 
то есть SK : KB = 3 : 1.
б) Опустим из S перпендикуляр на AE. Он упадет в середину AE — точку R'. По свойствам шестиугольника CR' : R'F = 3 : 1. При этом отрезок MN пересекает SR' в его середине W.
Пусть CW пересекает SF в точке G, это и есть точка пересечения плоскости сечения с ребром CF.
По теореме Менелая для треугольника FSR' и прямой GWC имеем 
откуда
то есть SG : GF = 3 : 4.
Ответ: 3 : 4.