а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S длина пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из ос­но­ва­ния H вы­со­ты пи­ра­ми­ды SH на грань SDC равна а угол на­кло­на бо­ко­во­го ребра SB к плос­ко­сти ос­но­ва­ния равен 60°.

а)  Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды SABCD.

б)  Через се­ре­ди­ну вы­со­ты SH пи­ра­ми­ды про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию ABCD. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди се­че­ния опи­сан­но­го около пи­ра­ми­ды шара к пло­ща­ди се­че­ния пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

От­ре­зок KB яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой тре­уголь­ни­ка KLM. Окруж­ность ра­ди­у­са 5 про­хо­дит через вер­ши­ну K, ка­са­ет­ся сто­ро­ны LM в точке B и пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну KL в точке A. Из­вест­но, что

а)  Най­ди­те угол K тре­уголь­ни­ка KLM.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM.

Малое пред­при­я­тие вы­пус­ка­ет из­де­лия двух типов. Для из­го­тов­ле­ния из­де­лия пер­во­го типа тре­бу­ет­ся 9 часов ра­бо­ты стан­ка А и 11 часов ра­бо­ты стан­ка Б. Для из­го­тов­ле­ния из­де­лия вто­ро­го типа тре­бу­ет­ся 13 часов ра­бо­ты стан­ка А и 3 часа ра­бо­ты стан­ка Б (стан­ки могут ра­бо­тать в любой по­сле­до­ва­тель­но­сти). По тех­ни­че­ским при­чи­нам ста­нок А может ра­бо­тать не более 130 часов в месяц, а ста­нок Б  — не более 88 часов в месяц. Каж­дое из­де­лие пер­во­го типа при­но­сит пред­при­я­тию 22 000 д. е. при­бы­ли, а каж­дое из­де­лие вто­ро­го типа  — 26 000 д. е. при­бы­ли. Най­ди­те наи­боль­шую воз­мож­ную еже­ме­сяч­ную при­быль пред­при­я­тия и опре­де­ли­те, сколь­ко из­де­лий пер­во­го типа и сколь­ко из­де­лий вто­ро­го типа сле­ду­ет вы­пус­кать для по­лу­че­ния этой при­бы­ли.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 про­из­воль­но делят на три не­пу­стые груп­пы. Затем вы­чис­ля­ют зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел в каж­дой из групп (для груп­пы из един­ствен­но­го числа сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно этому числу).

а)  Могут ли по­лу­чить­ся оди­на­ко­вы­ми два из этих трёх зна­че­ний сред­них ариф­ме­ти­че­ских в груп­пах из раз­но­го ко­ли­че­ства чисел?

б)  Могут ли по­лу­чить­ся оди­на­ко­вы­ми все три зна­че­ния сред­них ариф­ме­ти­че­ских?

в)  Най­ди­те ми­ни­маль­ное воз­мож­ное зна­че­ние мак­си­маль­но­го из по­лу­ча­е­мых сред­них ариф­ме­ти­че­ских.