Через середину диагонали куба проведена плоскость перпендикулярно этой диагонали. Найти отношение площади сечения куба данной плоскостью к площади полной поверхности куба.
Введем координаты, взяв ребро куба за единичный отрезок, выбрав начало в вершине A куба ABCDA1B1C1D1 и направив оси вдоль ребер AB, AD, AA1. Тогда вектор 
имеет координаты {1; 1; 1} и потому плоскость имеет уравнение 
Поскольку она проходит через центр куба, координата которого 
получаем что 
Итак, уравнение этой плоскости имеет вид 
В частности, точки, координаты которых — в любом порядке — равны 
лежат в этой плоскости. Нетрудно видеть, что эти шесть точек являются серединами ребер BC, CD, DD1, A1D1, A1B1, B1B. Если соединить эти точки, получится шестиугольник, все стороны которого имеют длину, равную половине длины диагонали грани куба, то есть 
Кроме того, этому же числу равны все расстояния от центра куба до этих точек, поэтому сечение имеет форму правильного шестиугольника со стороной 
и площадь его равна:
Площадь поверхности куба, очевидно, равна 6, поэтому искомое отношение есть 
Ответ: б) 