Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция АВСD с ос­но­ва­ни­я­ми ВС и АD (ВС < АD), в ко­то­рой АВ  =  5, CD  =  4, ВС  =  6. Через точку С и се­ре­ди­ну ребра ВВ₁ па­рал­лель­но B₁D про­ве­де­на плос­кость β.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость β пе­ре­се­ка­ет ребро АА₁ в такой точке Р, что А₁Р  =  3АР.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной в точке В, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой слу­жит се­че­ние приз­мы плос­ко­стью β, если из­вест­но, что ВВ₁  =  16.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

На сто­ро­не ВС тре­уголь­ни­ка АВС от­ме­че­на точка К. Ока­за­лось, что от­ре­зок АК пе­ре­се­ка­ет ме­ди­а­ну ВD в точке Е так, что АЕ  =  ВС.

а)  До­ка­жи­те, что ВК  =  КE.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка CDEК, если из­вест­но, что АВ  =  13, АЕ  =  7, АD  =  4.

Оли­гарх Ари­старх Луков‐Ар­ба­ле­тов имеет в соб­ствен­но­сти три част­ных банка. Ак­ти­вы пер­во­го банка со­сто­ят на 70% из руб­лей и на 30% из дол­ла­ров. Во вто­ром банке 80% ак­ти­вов со­став­ля­ют рубли и 20%  — евро; в тре­тьем банке 50% ак­ти­вов в руб­лях, 10%  — в дол­ла­рах и 40%  — в евро. Ари­старх пла­ни­ру­ет от­крыть 4‐й банк, на­пра­вив туда часть ак­ти­вов из каж­до­го банка так, чтобы доля каж­дой ва­лю­ты в каж­дом из них со­хра­ни­лась, а ак­ти­вы но­во­го банка со­сто­я­ли бы ровно на 15% в дол­ла­рах. Какой наи­мень­ший про­цент руб­лей могут со­дер­жать ак­ти­вы но­во­го банка?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет не более трёх кор­ней, вхо­дя­щих в от­ре­зок

Даны 20 чисел: 2, 3, 4,…, 20, 21.

а)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­пар­но вза­им­но про­стых чисел можно вы­брать из при­ве­ден­ных 20 чисел?

б)  До­ка­жи­те, что если из при­ве­ден­ных 20 чисел вы­брать любые 12, то обя­за­тель­но най­дут­ся два числа, из ко­то­рых одно де­лит­ся на дру­гое.

в)  Пусть 20 при­ве­ден­ных чисел яв­ля­ют­ся со­от­вет­ствен­но дли­на­ми сто­рон 20 квад­ра­тов. Можно ли эти 20 квад­ра­тов раз­де­лить на две груп­пы так, чтобы суммы пло­ща­дей квад­ра­тов в этих груп­пах были бы оди­на­ко­вы­ми?