Дано урав­не­ние 

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.                                           

б)  Най­ди­те его корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

В  кубе АВСDA₁B₁C₁D₁ точка  N  — се­ре­ди­на  ребра BC,  точка M лежит на ребре AB так, что MB  =  2MA. Плос­кость, про­хо­дя­щая через точки M и N па­рал­лель­но пря­мой ВD₁, пе­ре­се­ка­ет ребро DD₁ в точке K. 

а)  До­ка­жи­те, что DK : D₁K  =  5 : 2. 

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D₁ до пря­мой MN, если из­вест­но, что ребро куба равно 12. 

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­не AB от­ме­че­на точка E, при этом BE  =  4, EA  =  5, BC  =  6. 

а)  До­ка­жи­те, что углы ВАС и BCE равны. 

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AEC, если из­вест­но, что угол ABC равен 30°. 

Име­ет­ся три спла­ва. Пер­вый со­дер­жит 30% меди и 70% олова, вто­рой  — 45% олова, 20% се­реб­ра и 35% меди, тре­тий  — 60% олова и 40% се­реб­ра. Из них не­об­хо­ди­мо со­ста­вить новый сплав,  со­дер­жа­щий 25% се­реб­ра. Какое наи­мень­шее и наи­боль­шее про­цент­ное со­дер­жа­ние олова может быть в этом новом спла­ве?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно три раз­лич­ных дей­стви­тель­ных корня.

На­ту­раль­ные числа от 1 до 9 рас­пре­де­ле­ны на три груп­пы: в 1‐й груп­пе два числа, во 2‐й  — три и в 3‐й  — че­ты­ре.

а)  Могут ли про­из­ве­де­ния чисел в каж­дой груп­пе ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми?

б)  Могут ли суммы в каж­дой груп­пе ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми?

в)  Из чисел 1‐й груп­пы со­став­ле­но дву­знач­ное число А, из чисел 2‐й груп­пы со­став­ле­но трех­знач­ное число В, а из чисел 3‐й груп­пы со­став­ле­но че­ты­рех­знач­ное число С. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма A + В + С?