а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K  — се­ре­ди­на ребра АВ, точка Р  — се­ре­ди­на ребра ВС. Через точки K, P, D₁ про­ве­де­на плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью α можно раз­бить на две части, одна из ко­то­рых рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, а дру­гая  — рав­но­бо­кая тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те пе­ри­метр се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α, если из­вест­но, что сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы равна 8, а бо­ко­вое ребро равно 6.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В тре­уголь­ни­ке АВС сто­ро­на ВC боль­ше сто­ро­ны АC. Бис­сек­три­са CL пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка АВС окруж­ность в точке K. Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка АКL, вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет пря­мую АС в точке Р.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки ВС и РС равны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АРК, если ВС  =  6, АВ  =  5, АС  =  4.

15‐го де­каб­ря 2018 года Саша и Паша взяли в банке оди­на­ко­вые суммы в кре­дит на 12 ме­ся­цев. Банк пред­ло­жил им по­хо­жие схемы по­га­ше­ния долга.

Усло­вия воз­вра­та кре­ди­та у Саши ока­за­лись сле­ду­ю­щие:

—  1‐⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2‐⁠го по 14‐е число ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­чи­вать одним пла­те­жом часть долга;

—  на 15‐⁠е числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга, чем на 15‐⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

У Паши усло­вия воз­вра­та кре­ди­та были та­ко­вы:

—  1‐⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2‐⁠го по 14‐⁠е число ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­чи­вать одним пла­те­жом часть долга;

—  на 15‐⁠е число каж­до­го ме­ся­ца с ян­ва­ря по но­ябрь вклю­чи­тель­но долг дол­жен умень­шать­ся на 50 тыс. руб.;

—  в де­каб­ре 2019 года весь остав­ший­ся на тот мо­мент долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Когда в де­каб­ре 2019 года Саша и Паша рас­счи­та­лись со сво­и­ми кре­ди­та­ми, вы­яс­ни­лось, что один из них вы­пла­тил за год банку на 429 тыс. руб. боль­ше, не­же­ли дру­гой. Опре­де­ли­те, какая сумма была взята каж­дым в кре­дит.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно одно ре­ше­ние.

Из­вест­но, что n и m  — на­ту­раль­ные числа.

а)  Су­ще­ству­ет ли пара чисел n и m, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство ?

б)  Су­ще­ству­ет ли пара чисел n и m, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство ?

в)  Най­ди­те все пары чисел n и m, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство