Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB  =  4 и BC  =   все бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны 4. На диа­го­на­ли BD ос­но­ва­ния ABCD от­ме­че­на точка Е, а на ребре AS  — точка F так, что SF  =  BE  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CEF па­рал­лель­на SB.

б)  Пусть плос­кость CEF пе­ре­се­ка­ет ребро SD в точке Q. Най­ди­те рас­сто­я­ние от Q до плос­ко­сти АВС.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Дан вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник ABCD с пря­мым углом А. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через вер­ши­ны А, В и D пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны ВС и CD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Пря­мые BN и DM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Р, а пря­мая СР пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке К.

а)  До­ка­жи­те, что точки А, М, Р и К лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти, если из­вест­но, что пря­мая СK па­рал­лель­на пря­мой АМ и АВ  =  АК  =  KD  =  

Банк пла­ни­ру­ет вло­жить на 1 год 30% име­ю­щих­ся у него средств кли­ен­тов в акции зо­ло­то­до­бы­ва­ю­ще­го ком­би­на­та, а осталь­ные 70%  — в стро­и­тель­ство тор­го­во­го ком­плек­са. В за­ви­си­мо­сти от об­сто­я­тельств пер­вый про­ект может при­не­сти банку при­быль в раз­ме­ре от 32% до 37% го­до­вых, а вто­рой про­ект  — от 22 до 27% го­до­вых. В конце года банк обя­зан вер­нуть день­ги кли­ен­там и вы­пла­тить им про­цен­ты по за­ра­нее уста­нов­лен­ной став­ке, уро­вень ко­то­рой дол­жен на­хо­дить­ся в пре­де­лах от 10% до 20% го­до­вых. Опре­де­ли­те, какую наи­мень­шую и наи­боль­шую чи­стую при­быль в про­цен­тах го­до­вых от сум­мар­ных вло­же­ний в по­куп­ку акций и стро­и­тель­ство тор­го­во­го ком­плек­са может при этом по­лу­чить банк.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно че­ты­ре целых ре­ше­ния.

Пусть K(n) обо­зна­ча­ет сумму квад­ра­тов всех цифр на­ту­раль­но­го числа n.

а)  Су­ще­ству­ет ли такое трех­знач­ное число n, что K(n)  =  171?

б)  Су­ще­ству­ет ли такое трех­знач­ное число n, что K(n)  =  172?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать вы­ра­же­ние 4K(n) − n, если n  — трех­знач­ное число?