Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В кубе ABCDAA₁B₁C₁D₁ на про­дол­же­нии ребра BB₁ от­ме­че­на точка P так, что PB : BB₁  =  3 : 4. Через точки А и P па­рал­лель­но пря­мой ВD₁ про­ве­де­на плос­кость α. 

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро DC в от­но­ше­нии 1 : 2.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью α, если из­вест­но, что PB  =  18.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­но­сти ω₁ и ω₂ ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. A₁A₂ и B₁B₂  — их общие внеш­ние ка­са­тель­ные (A₁ и B₁  — точки ка­са­ния с ω₁, A₂ и B₂  — точки ка­са­ния с ω₂).

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между хор­да­ми A₁B₁ и A₂B₂ равно сред­не­му гар­мо­ни­че­ско­му диа­мет­ров окруж­но­стей. (сред­ним  гар­мо­ни­че­ским двух по­ло­жи­тель­ных чисел а и b на­зы­ва­ет­ся зна­че­ние вы­ра­же­ния 

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка A₁А₂B₂В₁, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны со­от­вет­ствен­но 9 и 4.

По­дру­ги По­ли­на и Кри­сти­на меч­та­ют стать мо­де­ля­ми. 1 ян­ва­ря они ре­ши­ли на­чать ху­деть. При этом вес у По­ли­ны ока­зал­ся на 10% боль­ше, чем у Кри­сти­ны.

31 ян­ва­ря вы­яс­ни­лось, что По­ли­на сбро­си­ла 4% сво­е­го веса, а Кри­сти­на 1%. В фев­ра­ле Кри­сти­на со­би­ра­ет­ся по­ху­деть еще на 2%.

а)  На какое наи­мень­шее целое число % нужно по­ху­деть в фев­ра­ле По­ли­не, чтобы к 1 марта её вес стал мень­ше, чем у Кри­сти­ны?

б)  Сколь­ко будет ве­сить к концу фев­ра­ля Кри­сти­на, если из­вест­но, что 1 ян­ва­ря По­ли­на ве­си­ла 55 кг?

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных дей­стви­тель­ных корня.

Как из­вест­но, шах­мат­ный конь ходит бук­вой «Г» (рис.) 

Конь рас­по­ло­жен в левой ниж­ней клет­ке шах­мат­ной доски 8х8 (поле А1). 

а)  Может ли конь ока­зать­ся в верх­ней пра­вой клет­ке  (на поле Н8), сде­лав при этом ровно 2015 ходов?   

б)  Может ли конь за 63 хода по­бы­вать в каж­дой из остав­ших­ся 63 кле­ток?

в)  За какое  наи­мень­шее число  ходов конь может  ока­зать­ся в верх­ней  пра­вой клет­ке (на поле Н8)?