В правильной четырехугольной пирамиде PABCD каждое ребро равно 12. На ребре PC отмечена точка K так, что PK : KC = 1 : 3.
а) Докажите, что линия пересечения плоскостей ABK и PCD параллельна плоскости ABC.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ABK.
а) Проведем в плоскости PCD прямую KT, параллельную CD. Поскольку 
то и 
Поэтому точки A, B, K, T лежат в одной плоскости и искомое переечение плоскостей — прямая KT. Она параллельна плоскости основания пирамиды, поскольку параллельна CD.
б) Рассмотрим трапецию ABKT. В ней 
Очевидно, что треугольник PKT равносторонний, поэтому 
По теореме косинусов из треугольника BPK имеем
Опустим теперь в трапеции высоту KH на основание AB. Тогда 
и по теореме Пифагора для треугольника BKH получаем
Наконец,
Ответ: 