Дан куб ABCDA1B1C1D1. Пусть l — линия пересечения плоскостей АСD1 и ВDC1.
а) Докажите, что прямые DB1 и l перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми DB1 и l, если ребро куба равно 2.
а) Отметим, что точки пересечения прямых BD и AC, а также 
и 
— центры двух граней — лежат на прямой l, поэтому прямая, проходящая через них, и есть прямая 
Очевидно, она является средней линией треугольника 
поэтому параллельна 
Наконец, 
поскольку проекция 
на грань 
— прямая 
и 
б) Рассмотрим плоскость 
Она перпендикулярна прямой l, поэтому можно искать расстояние от точки пересечения этой плоскости с прямой l до прямой 
Назовем эту точку 
Ясно, что если спроецировать ее на 
проекция поделит 
в отношении 
а если на CD — совпадет с серединой 
Ответ: б) 