Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 505683

В кубе ABCDA1B1C1D1 плоскость проходит через прямую A1B1 и середину ребра DD1. Найти расстояние от середины ребра DC до плоскости, если ребро куба равно 4.

Спрятать решение

Решение.

Поместим заданный куб в декартову систему координат, как показано на рисунке. Пусть М  — середина ребра DD1, K  — середина ребра DC. Тогда: A1 (4; 0; 4), B1 (0; 0; 4), M (4; 4; 2), K (2; 4; 0).

Уравнение секущей плоскости имеет вид ax + by + cz + d = 0. Плоскость проходит через точки М, A1, B1, не лежащие на одной прямой, поэтому координаты этих точек удовлетворяют уравнению плоскости. Составим и решим систему уравнений:

 система выражений  новая строка 4a плюс 4c плюс d=0 , новая строка 4c плюс d=0 , новая строка 4a плюс 4b плюс 2c плюс d=0 конец системы .

Из первого и второго уравнений получим, что a = 0. Из второго: c= минус дробь: числитель: d, знаменатель: 4 конец дроби . Подставив полученные результаты в третье уравнение, получим значение b:

4b минус дробь: числитель: d, знаменатель: 2 конец дроби плюс d=0 равносильно 4b= минус дробь: числитель: d, знаменатель: 2 конец дроби равносильно b= минус дробь: числитель: d, знаменатель: 8 конец дроби .

Таким образом, уравнение плоскости имеет вид:  минус дробь: числитель: d, знаменатель: 8 конец дроби y минус дробь: числитель: d, знаменатель: 4 конец дроби z плюс d=0 равносильно y плюс 2z минус 8=0.

Расстояние d от точки до плоскости y + 2z − 8 = 0 ищем по формуле d= дробь: числитель: |ax_0 плюс by_0 плюс cz_0 плюс d|, знаменатель: корень из a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате конец дроби , где x0, y0, z0  — координаты точки K (2; 4; 0):

d= дробь: числитель: \left| 0 умножить на 2 плюс 1 умножить на 4 плюс 2 умножить на 0 минус 8 |, знаменатель: корень из 1 плюс 4 конец дроби = дробь: числитель: \left| минус 4 |, знаменатель: корень из 1 плюс 4 конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из 5 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 55.
Методы геометрии: Метод координат
Классификатор стереометрии: Куб, Расстояние от точки до плоскости