Дано урав­не­ние

а) Ре­ши­те урав­не­ние.

б) Ука­жи­те его корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб ABCD с диа­го­на­ля­ми AC = 8 и BD = 6.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые BD₁ и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми BD₁ и AC, если из­вест­но, что бо­ко­вое ребро приз­мы равно 12.

Решите неравенство

К двум окружностям с центрами O₁ и O₂ и радиусами 6 и 3 проведены три общие касательные: одна внутренняя и две внешних. Пусть A и B — точки пересечения общей внутренней касательной с общими внешними.

а) Докажите, что около четырехугольника O₁AO₂B можно описать окружность.

б) Найдите расстояние между точками касания окружностей с их общей внутренней касательной, если известно, что O₁O₂ = 15.

Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние? Считайте, что перекресток не T-образный, обе дороги продолжаются за перекрестком.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно одно ре­ше­ние.

Может ли сумма трех попарно различных дробей вида (где , n>1) равняться

а) 1,1;

б) 0,5;

в) 1,05?