Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ точка К  — се­ре­ди­на ребра АВ.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость СКD₁ делит объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да в от­но­ше­нии 7 : 17.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D до плос­ко­сти СКD₁, если из­вест­но, что ребра АВ, АD и АА₁ по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и равны со­от­вет­ствен­но 6, 4 и 6.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке K. Пусть AB  — хорда боль­шей окруж­но­сти, ка­са­ю­ща­я­ся мень­шей окруж­но­сти в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что KL  — бис­сек­три­са угла AKB.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка KL, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы боль­шей и мень­шей окруж­но­стей равны со­от­вет­ствен­но 6 и 2, а угол АKB равен 90°.

Спон­сор вы­де­лил школе 50 тысяч руб­лей на по­куп­ку мячей. Из­вест­но, что фут­боль­ный мяч стоит 700 руб­лей, бас­кет­боль­ный  — 600 руб­лей, во­лей­боль­ный  — 500 руб­лей. Не­об­хо­ди­мо при­об­ре­сти мячи всех трёх видов, причём их ко­ли­че­ства не долж­ны от­ли­чать­ся более, чем на 10 штук. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство мячей смо­жет при­об­ре­сти школа, не при­вы­сив на их по­куп­ку вы­де­лен­ной суммы?

Най­ди­те все а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния.

Под­ко­вы­вая ло­шадь, куз­нец тра­тит на одну под­ко­ву 5 минут.

а)  Смо­гут ли два куз­не­ца за пол­ча­са под­ко­вать трёх ло­ша­дей?

б)  Смо­гут ли че­ты­ре куз­не­ца за 15 минут под­ко­вать трёх ло­ша­дей?

в)  За какое наи­мень­шее время 48 куз­не­цов смо­гут под­ко­вать 60 ло­ша­дей? (Из­вест­но, что ло­шадь не может сто­ять на двух ногах, по­это­му два куз­не­ца не могут од­но­вре­мен­но ра­бо­тать с одной ло­ша­дью).