а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит квад­рат со сто­ро­ной Ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния и равно 8. Через вер­ши­ну А па­рал­лель­но BD про­ве­де­но се­че­ние, ко­то­рое делит ребро SC в от­но­ше­нии 3 : 2, счи­тая от вер­ши­ны S.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость се­че­ния делит от­ре­зок SO в от­но­ше­нии 3 : 1, где О  — центр ос­но­ва­ния.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся сто­рон BA и BC в точ­ках E и F.

а)  До­ка­жи­те, что центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник BEF, лежит на окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми этих окруж­но­стей, если AB  =  BC, BE  =  13, EF  =  10.

Кли­ент пла­ни­ру­ет по­ло­жить опре­де­лен­ную сумму денег в банки под не­ко­то­рые про­цен­ты. Треть этой суммы он по­ме­ща­ет на вклад А под r% про­цен­тов го­до­вых, а остав­шу­ю­ся часть денег на вклад Б под q% го­до­вых (про­цен­ты на­чис­ля­ют­ся в конце года и до­бав­ля­ют­ся к сумме вкла­да). Через год сумма вкла­дов с уче­том про­цен­тов уве­ли­чи­лась на от пер­во­на­чаль­но­го зна­че­ния, а через два года стала со­став­лять 463 200 руб­лей. Если бы кли­ент из­на­чаль­но по­ло­жил бы этой суммы на вклад Б, а остав­ши­е­ся сред­ства  — на вклад А, то через год сумма вклад с уче­том до­бав­лен­ных про­цен­тов) уве­ли­чи­лась бы на от пер­во­на­чаль­ной. Чему в этом слу­чае была бы равна сумма вкла­дов через два года?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

не имеет ре­ше­ний.

В те­че­ние дня по­се­ти­те­ли при­хо­ди­ли к кас­си­ру, желая про­из­ве­сти раз­лич­ные пла­те­жи (сумма лю­бо­го пла­те­жа  — чет­ное число руб­лей). Каж­дый про­тя­ги­вал ку­пю­ру но­ми­на­лом 5000 руб­лей. Кас­сир вы­да­вал сдачу, имея толь­ко 300 монет по 10 руб­лей и 500 монет по 2 рубля. По ито­гам дня все мо­не­ты ока­за­лись по­тра­чен­ны­ми на сдачу.

а)  Могло ли за день быть 250 по­се­ти­те­лей, если они по­лу­чи­ли рав­ную сдачу?

б)  Каким могло быть наи­боль­шее число по­се­ти­те­лей, если каж­дый по­лу­чил оди­на­ко­вую сдачу?

в)  Для ка­ко­го наи­боль­ше­го ко­ли­че­ства по­се­ти­те­лей кас­сир мог вы­дать на сдачу мо­не­ты ука­зан­ным спо­со­бом при любом рас­пре­де­ле­нии сдач, не про­ти­во­ре­ча­щим усло­вию?