Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 515744
i

Ос­но­ва­ние пря­мой четырёхуголь­ной приз­мы ABCDA1B1C1D1  — пря­мо­уголь­ник ABCD, в ко­то­ром AB=12, AD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 31 конец ар­гу­мен­та . Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и B1D1 равно 5.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через точку D пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BD1, делит от­ре­зок BD1 в от­но­ше­нии 1 : 7, счи­тая от вер­ши­ны D1.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку D пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BD1, и плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сразу от­ме­тим, что дан­ное в усло­вии рас­сто­я­ние  — вы­со­та приз­мы.

а)  Вве­дем ко­ор­ди­на­ты с на­ча­лом в точке A и осями, на­прав­лен­ны­ми по реб­рам AD,AB,AA_1. Тогда ко­ор­ди­на­ты вер­шин будут B левая круг­лая скоб­ка 0,12,0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,D_1 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 31 конец ар­гу­мен­та ,0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка . Зна­чит, пря­мая BD_1 имеет урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 31 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: y минус 12, зна­ме­на­тель: минус 12 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: z, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , а пер­пен­ди­ку­ляр­ная ей плос­кость  — урав­не­ние ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 31 конец ар­гу­мен­та x минус 12y плюс 5z плюс D=0. Для того, чтобы плос­кость про­хо­ди­ла через точку D левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 31 конец ар­гу­мен­та ,0,0 пра­вая круг­лая скоб­ка , нужно взять ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 31 конец ар­гу­мен­та x минус 12y плюс 5z минус 31=0.

Точка, де­ля­щая BD_1 в от­но­ше­нии 1:7 имеет ко­ор­ди­на­ты левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 31 конец ар­гу­мен­та , дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 35, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Под­став­ляя ее в урав­не­ние плос­ко­сти, по­лу­ча­ем дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на 31 минус 18 плюс дробь: чис­ли­тель: 175, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус 31= минус 18 минус дробь: чис­ли­тель: 31, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 175, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби =0, то есть эта точка лежит и в плос­ко­сти, что и тре­бо­ва­лось.

 

б)  Урав­не­ние плос­ко­сти ос­но­ва­ния приз­мы z=0. По фор­му­ле най­дем ко­си­нус угла

дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 31 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 0 минус 12 умно­жить на 0 плюс 5 умно­жить на 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 31 плюс 144 плюс 25 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 0 плюс 0 плюс 1 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 200 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
В ре­зуль­та­те ис­поль­зо­ва­ния вер­ных утвер­жде­ний и фор­мул по­лу­чен вер­ный ответ. Обос­но­ва­ние не со­дер­жит не­вер­ных утвер­жде­ний.2
В ре­зуль­та­те ис­поль­зо­ва­ния вер­ных утвер­жде­ний и фор­мул за­да­ча до­ве­де­на до от­ве­та, но по­лу­чен не­вер­ный ответ в ре­зуль­та­те до­пу­щен­ной вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки или опис­ки. Обос­но­ва­ние не со­дер­жит не­вер­ных утвер­жде­ний*

Все про­ме­жу­точ­ные вы­чис­ле­ния и по­лу­чен­ный ответ верны, но обос­но­ва­ние от­сут­ству­ет или со­дер­жит не­вер­ные утвер­жде­ния.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2

 

*Кри­те­рии рас­про­стра­ня­ют­ся и на слу­чай ис­поль­зо­ва­ния ко­ор­ди­нат­но­го ме­то­да

Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке под ре­дак­ци­ей И. В. Ящен­ко 2017. Ва­ри­ант 6. (Часть 2)
Методы геометрии: Метод ко­ор­ди­нат
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Пря­мая че­ты­рех­уголь­ная приз­ма, Рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми, Се­че­ние, па­рал­лель­ное или пер­пен­ди­ку­ляр­ное пря­мой, Угол между плос­ко­стя­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025