В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD со стороной 1. Длина диагонали AC ромба равна 1,5. Основание высоты пирамиды совпадает с центром ромба и ее длина в 1,5 раза больше длины AC. Через точку A и середину ребра SC проведена секущая плоскость, образующая с плоскостью основания пирамиды угол 45°. Какова площадь сечения пирамиды этой плоскостью?
Так как основание высоты падает в центр ромба основания, то мы получим два равнобедренных треугольника: ASC и BSD (так как отрезок SO является в них высотой и медианой).
Далее, построим искомое сечение: плоскость сечения пересекает плоскость (BSD) по линии, параллельной линии BD. Поэтому в треугольнике BSD через точку пересечения высоты SO и отрезка AM (точка P) проводим отрезок 
точки N и K принадлежат сторонам SB и SD соответственно. Остается соединить точку K с точками A и M в плоскостях (ASD) и (SCD) соответственно; точку N с точками A и M в плоскостях (ASB) и (SBC) соответственно.
Покажем, что в полученном в сечении 4-угольнике диагонали AM и NK пересекаются под прямым углом. Рассмотрим наклонную прямую AM и ее проекцию AG на плоскость основания (ABC): так как ABCD — ромб, то 
и по теореме о 3-х перпендикулярах 
А так как то 
Значит, площадь данного сечения можно найти так: 
Найдем стороны, необходимые для вычислений: 
по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABO найдем BO:
В равнобедренном треугольнике ASC медианы SO и AM делятся в отношении 2:1, считая от вершин S и A соответственно. Поэтому 
В равнобедренном треугольнике BSD, отрезок NK отсекает подобный ему треугольник NSK (угол S — общий; 
как соответственные). Поэтому 
откуда 
Рассмотрим далее выносной чертеж: треугольник ASC.
По условию 
поэтому треугольник AMG — равнобедренный прямоугольный. Значит, AG = MG, тогда по теореме Пифагора 
Так как в треугольнике SOC отрезок MG параллелен SO и выходит из середины стороны SC, то MG является средней линией данного треугольника. Тогда 
откуда получаем 
Осталось посчитать площадь сечения:
Ответ: 