Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 527433

В пирамиде SBCD каждое ребро равно 3. На ребре SB взята точка A так, что SA:AB=1:2.

а) В каком отношении плоскость ACD делит объем пирамиды?

б) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды SACD.

Спрятать решение

Решение.

а) У пирамид SBDC и ABDC совпадают основания, а отношение их высот равно  дробь: числитель: AH, знаменатель: SO конец дроби = дробь: числитель: AB, знаменатель: SB конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби из-за подобия треугольников AHB и SOB (AH и SO — высоты пирамид). Значит, V_ABCD= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби V_SBCD и искомое отношение объемов 1:2.

б) Пусть М - точка пересечения медиан правильного треугольника SDC, точка K - центр сферы. Точка К равноудалена от точек S, D и C, поэтому она лежит на перпендикуляре к плоскости SDC, проведенном через точку М - этот перпендикуляр является высотой правильного тетраэдра BSDC.

 SM=\dfrac23 умножить на DS умножить на \dfrac корень из 32= корень из 3; BM= корень из SB в квадрате минус SM в квадрате = корень из 6.

Пусть А1 и A2 - проекции точки А на прямые ВМ и SM.

Треугольники BAA1 и BSM подобны c коэффициентом подобия  \dfrac23, поэтому  АА_1= \dfrac23 умножить на MS= \dfrac 2 корень из 33; AA_2= \dfrac13 умножить на MB=\dfrac корень из 63.

 

Пусть МК=h, тогда

 R в квадрате =AK в квадрате = левая круглая скобка AA_2 минус h правая круглая скобка в квадрате плюс AA_1 в квадрате = левая круглая скобка \dfrac корень из 63 минус h правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка \dfrac2 корень из 33 правая круглая скобка в квадрате =2 плюс h в квадрате минус \dfrac2 корень из 63h;

 R в квадрате =MS в квадрате плюс h в квадрате =3 плюс h в квадрате .

Приравняв выражения для R в квадрате , получим  \dfrac2 корень из 63h= минус 1; h= минус \dfrac32 корень из 6= минус \dfrac корень из 64.

Знак "минус" означает, что точка К на самом деле лежит на продолжении отрезка МВ, то есть вне тетраэдра SACD.

Тогда  R в квадрате =3 плюс левая круглая скобка \dfrac корень из 64 правая круглая скобка в квадрате =\dfrac278; R= корень из \dfrac278.

 

Примечание.

Заметим, что радиус сферы, описанной вокруг тетраэдра SBCD, тоже равен  R= корень из \dfrac278. В самом деле, центр описанной сферы делит высоту тетраэра в отношении 3:1, считая от вершины, поэтому расстояние от точки М до центра сферы равно  \dfrac корень из 64=MK, а радиус равен KS. Однако центр сферы, описанной вокруг тетраэдра SBCD, лежит на отрезке МВ, то есть внутри тетраэдра, а центр сферы, описанной вокруг тетраэдра SADC, лежит на продолжении отрезка МВ, то есть вне тетраэдра.

Ответ: а) 1:2; б)  корень из \dfrac278.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 260.