а)  У пи­ра­мид SBDC и ABDC сов­па­да­ют ос­но­ва­ния, а от­но­ше­ние их высот равно из-за по­до­бия тре­уголь­ни­ков AHB и SOB (AH и SO  — вы­со­ты пи­ра­мид). Зна­чит, и ис­ко­мое от­но­ше­ние объ­е­мов

б)  Пусть М - точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка SDC, точка K - центр сферы. Точка К рав­но­уда­ле­на от точек S, D и C, по­это­му она лежит на пер­пен­ди­ку­ля­ре к плос­ко­сти SDC, про­ве­ден­ном через точку М - этот пер­пен­ди­ку­ляр яв­ля­ет­ся вы­со­той пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра BSDC.

Пусть А₁ и A₂ - про­ек­ции точки А на пря­мые ВМ и SM.

Тре­уголь­ни­ки BAA₁ и BSM по­доб­ны c ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия по­это­му

Пусть МК=h, тогда

При­рав­няв вы­ра­же­ния для по­лу­чим

Знак "минус" озна­ча­ет, что точка К на самом деле лежит на про­дол­же­нии от­рез­ка МВ, то есть вне тет­ра­эд­ра SACD.

Тогда

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной во­круг тет­ра­эд­ра SBCD, тоже равен В самом деле, центр опи­сан­ной сферы делит вы­со­ту тет­раэ­ра в от­но­ше­нии 3:1, счи­тая от вер­ши­ны, по­это­му рас­сто­я­ние от точки М до цен­тра сферы равно а ра­ди­ус равен KS. Од­на­ко центр сферы, опи­сан­ной во­круг тет­ра­эд­ра SBCD, лежит на от­рез­ке МВ, то есть внут­ри тет­ра­эд­ра, а центр сферы, опи­сан­ной во­круг тет­ра­эд­ра SADC, лежит на про­дол­же­нии от­рез­ка МВ, то есть вне тет­ра­эд­ра.

Ответ: а) б)